2019-2020年高中数学复习讲义 第二章 函数A.doc

2019-2020年高中数学复习讲义 第二章 函数A映射特殊化函数具体化一般化概念图像表 示 方 法定义域 值域单调性 奇偶性基本初等函数幂函数指数函数对数函数二次函数指数对数互 逆函数与方程应用问题【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解1.活用“定义法”解题定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等2.重视“数形结合思想”渗透“数缺形时少直观，形缺数时难入微”当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题3.强化“分类讨论思想”应用分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”4.掌握“函数与方程思想”函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数【基础练习】1设有函数组：，；，；，；，；，其中表示同一个函数的有_ y122xO122xyO122xOy2.设集合，从到有四种对应如图所示：122xOy其中能表示为到的函数关系的有_ 3.写出下列函数定义域：(1) 的定义域为_； (2) 的定义域为_；(3) 的定义域为_； (4) 的定义域为_且且4已知三个函数:(1)； (2)； (3)写出使各函数式有意义时，的约束条件： (1)_； (2)_； (3)_5.写出下列函数值域：(1) ，；值域是(2) ； 值域是(3) ， 值域是【范例解析】例1.设有函数组：，；，；，；，其中表示同一个函数的有分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同解：在中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；是同一函数点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可例2.求下列函数的定义域： ； ；解：（1） 由题意得：解得且或且，故定义域为 由题意得：，解得，故定义域为例3.求下列函数的值域：（1），；（2）；（3）分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域（1） 解：，函数的值域为；（2） 解法一：由，则，故函数值域为解法二：由，则，故函数值域为（3）解：令，则，当时，故函数值域为点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围【反馈演练】1函数f(x)的定义域是_2函数的定义域为_3. 函数的值域为_4. 函数的值域为_5函数的定义域为_6.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B(1) 求A；(2) 若BA，求实数a的取值范围解：(1)由20，得0，x0，得(xa1)(x2a)0a2a，B=(2a，a+1) BA， 2a1或a+11，即a或a2，而a1，a1或a2，故当BA时， 实数a的取值范围是(,2,1)第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式【基础练习】1.设函数，则_；_2.设函数，,则_3_；第5题3.已知函数是一次函数，且，,则_15_ (0x2)4.设f(x)，则ff()_5.如图所示的图象所表示的函数解析式为_【范例解析】例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式分析：给出函数特征，可用待定系数法求解解法一：设，则解得故所求的解析式为解法二：，抛物线有对称轴故可设将点代入解得故所求的解析式为解法三：设，由，知有两个根0，2，可设，将点代入解得故所求的解析式为点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式xyO1234102030405060例2例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系试写出的函数解析式分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达要注意求出解析式后，一定要写出其定义域【反馈演练】1若，则（ D ） 2已知，且，则m等于_3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x求函数g(x)的解析式解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性【基础练习】1.下列函数中： ； ； ； 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_2.函数的递增区间是_ R _3.函数的递减区间是_4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围_5.已知下列命题：定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数其中正确命题的序号有_【范例解析】例 . 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；（2）函数在区间和上都是单调递增函数分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定证明：（1）对于区间内的任意两个值，且，因为，又，则，得，故，即，即所以，函数在区间上是单调增函数（2）对于区间内的任意两个值，且，因为，又，则，得，故，即，即所以，函数在区间上是单调增函数同理，对于区间，函数是单调增函数；所以，函数在区间和上都是单调增函数点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论例2.确定函数的单调性分析：作差后，符号的确定是关键解：由，得定义域为对于区间内的任意两个值，且，则又，即所以，在区间上是增函数点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定【反馈演练】1已知函数，则该函数在上单调递_减_，（填“增”“减”）值域为_2已知函数在上是减函数，在上是增函数，则_25_.3. 函数的单调递增区间为.4. 函数的单调递减区间为 5. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围解：设对于区间内的任意两个值，且，则，得，即第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数【基础练习】1.给出4个函数：；其中奇函数的有_；偶函数的有_；既不是奇函数也不是偶函数的有_2. 设函数为奇函数，则实数 1 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A. B. C. D.【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断解：（1）定义域为，关于原点对称；,所以为偶函数（2）定义域为，关于原点对称；，故为奇函数（3）定义域为，关于原点对称；，且，所以既为奇函数又为偶函数（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数（5）定义域为，关于原点对称；，则且，故既不是奇函数也不是偶函数（6）定义域为，关于原点对称；，又，故为奇函数点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，求函数的解析式，并指出它的单调区间分析：奇函数若在原点有定义，则 解：设，则，又是奇函数，当时，综上，的解析式为作出的图像，可得增区间为，减区间为，点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间 【反馈演练】1已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）A B C D2. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数3. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为_1，3 _4设函数为奇函数，则_5若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（2，2）6. 已知函数是奇函数又，,求a，b，c的值；解：由，得，得又，得，而，得，解得又，或1若，则，应舍去；若，则所以，综上，可知的值域为第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法【基础练习】向上平移3个单位向右平移1个单位1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：向右平移3个单位作关于y轴对称的图形（1） ；（2） 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）； （2）； （3）解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像图略；（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像图略；Oyx11（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；1Oyx图1（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示1Oyx图311Oyx图21Oyx图44. 函数的图象是（ B ）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111【范例解析】例1.作出函数及，的图像分析：根据图像变换得到相应函数的图像解：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；将的图像向左平移2个单位得到的图像；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分图略点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种平移变换：左“+”右“”，上“+”下“”；对称变换：与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分例2.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题解：（1）（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.由于.【反馈演练】Oy11BxOyx11A1函数的图象是（ B ） Oyx11COy11Dx2. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到3已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=4设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_ 5. 作出下列函数的简图：（1）； （2）； （3）