2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第三章 函数.doc

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2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第三章 函数一、基础知识定义1 映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f: AB为一个映射。定义2 单射,若f: AB是一个映射且对任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3 满射,若f: AB是映射且对任意yB,都有一个xA使得f(x)=y,则称f: AB是A到B上的满射。定义4 一一映射,若f: AB既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射,记作f-1: AB。定义5 函数,映射f: AB中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。A称为它的定义域,若xA, yB,且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR. 定义6 反函数,若函数f: AB(通常记作y=f(x))是一一映射,则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数,通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x, y互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。定义7 函数的性质。(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2,总有f(x1)f(x2),则称f(x)在区间I上是增(减)函数,区间I称为单调增(减)区间。(2)奇偶性:设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的xD,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的xD,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。(3)周期性:对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T0,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8 如果实数ab,则数集x|axb, xR叫做开区间,记作(a,b),集合x|axb,xR记作闭区间a,b,集合x|axb记作半开半闭区间(a,b,集合x|axa记作开区间(a, +),集合x|xa记作半开半闭区间(-,a.定义9 函数的图象,点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象,其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0);(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象;(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;(3)向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象;(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(5)与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=fg(x)的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y=, u=2-x在(-,2)上是减函数,y=在(0,+)上是减函数,所以y=在(-,2)上是增函数。注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。二、方法与例题xyx11x1数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。例2 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=,记点P(x, x2),A(3,2),B(0,1),则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=2.函数性质的应用。例3 设x, yR,且满足,求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t,先证f(t)在(-,+)上递增。事实上,若a0,所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,所以x+y=2.例4 奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又f(1-a)+f(1-a2)0,求a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数,所以f(1-a2)=-f(a2-1),由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-11-aa2-11,解得0a1。例5 设f(x)是定义在(-,+)上以2为周期的函数,对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1,已知当xI0时,f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设xIk,则2k-10,则由得n0,设f(t)=t(+1),则f(t)在(0,+)上是增函数。又f(m)=f(-n),所以m=-n,所以3x-1+2x-3=0,所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。综上,方程有唯一实数解x=3.配方法。例7 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时,y取最小值-,所以函数值域是-,+)。4换元法。例8 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u,因为x0,1,所以2u2=2+24,所以u2,所以2,12,所以y=,u2+2,8。所以该函数值域为2+,8。5判别式法。例9 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时,式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20,解得y1.又当y=1时,存在x=0使解析式成立,所以函数值域为,7。6关于反函数。例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增,求证:y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则x1=f(y1), x2=f(y2),若y1y2,则因为f(x)在(-,+ )上递增,所以x1x2与假设矛盾,所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )递增。例11 设函数f(x)=,解方程:f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为(-,-)-,+);其次,设x1, x2是定义域内变量,且x1x20,所以f(x)在(-,-)上递增,同理f(x)在-,+)上递增。在方程f(x)=f-1(x)中,记f(x)=f-1(x)=y,则y0,又由f-1(x)=y得f(y)=x,所以x0,所以x,y-,+).若xy,设xy,则f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x,化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0,所以3x4+5x3+5x2+5x+10,所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2,映射f:XY满足:对任意的xX,它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数,这样的映射有_个。2给定A=1,2,3,B=-1,0,1和映射f:XY,若f为单射,则f有_个;若f为满射,则f有_个;满足ff(x) =f(x)的映射有_个。3若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有_个交点。4函数y=f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为_。5已知f(x)=,则函数g(x)=ff(x)的值域为_。6已知f(x)=|x+a|,当x3时f(x)为增函数,则a的取值范围是_。7设y=f(x)在定义域(,2)内是增函数,则y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数y=(x)存在反函数y=-1(x),则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_对称。9函数f(x)满足=1-,则f()=_。10. 函数y=, x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域:(1)y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定义在R上,对任意xR, f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函数,又当x2,3时,f(x)=x,则当x-2,0时,求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知a, f(x)定义域是(0,1,则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。2设0a1时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_。3映射f: a, b, c, d1,2,3满足10f(a)f(b)f(c)f(d)0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=,求证:f(x)为周期函数。11设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为,(),已知函数f(x)=,(1)求f()、f();(2)求证:f(x)在,上是增函数;(3)对任意正数x1, x2,求证:0,a1,F(x)是奇函数,则G(x)=F(x)是_(奇偶性).3若=x,则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F(x);F(-x)= ;F(x-1)=F(x);F(F(x)=-x.4.设函数f:RR满足f(0)=1,且对任意x,yR,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=_.5已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(xx)= _.6. 函数f(x)=的单调递增区间是_.7. 函数f(x)=的奇偶性是:_奇函数,_偶函数(填是,非)。8. 函数y=x+的值域为_.9设f(x)=,对任意的aR,记V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3,试求V(a)的最小值。10解方程组: (在实数范围内)11设kN+, f: N+N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意nN+, 有ff(n)=kn,求证:对任意nN+, 都有nf(n)六、联赛二试水平训练题1求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x0, f(x)=xf;(2)对所有的x-y且xy0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设f(x)对一切x0有定义,且满足:()f(x)在(0,+)是增函数;()任意x0, f(x)f=1,试求f(1).3. f:0,1R满足:(1)任意x0, 1, f(x)0;(2)f(1)=1;(3)当x, y, x+y0, 1时,f(x)+f(y)f(x+y),试求最小常数c,对满足(1),(2),(3)的函数f(x)都有f(x)cx.4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数p,q(0, 1),有p+q1p2+q2,试求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.当x时,试求f(x)的最大值。7函数f(x)定义在整数集上,且满足f(n)=,求f(100)的值。8函数y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。(1)求证:方程f(x)=x恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。9设Q+是正有理数的集合,试构造一个函数f: Q+Q+,满足这样的条件:f(xf(y)=x, yQ+.
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