2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第三章 函数.doc

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射。定义2 单射，若f: AB是一个映射且对任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3 满射，若f: AB是映射且对任意yB，都有一个xA使得f(x)=y，则称f: AB是A到B上的满射。定义4 一一映射，若f: AB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: AB。定义5 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR. 定义6 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8 如果实数ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以y=在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题xyx11x1数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例2 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，记点P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=2.函数性质的应用。例3 设x, yR，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若a0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设xIk，则2k-10，则由得n0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=3.配方法。例7 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）。4换元法。例8 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以该函数值域为2+，8。5判别式法。例9 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为，7。6关于反函数。例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )递增。例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上递增，同理f(x)在-，+）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY满足：对任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。2给定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f为单射，则f有_个；若f为满射，则f有_个；满足ff(x) =f(x)的映射有_个。3若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_个交点。4函数y=f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为_。5已知f(x)=，则函数g(x)=ff(x)的值域为_。6已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_。7设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_对称。9函数f(x)满足=1-，则f()=_。10. 函数y=, x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定义在R上，对任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)=x，则当x-2,0时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知a, f(x)定义域是（0,1，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。2设0a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_。3映射f: a, b, c, d1，2，3满足10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。11设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为，（），已知函数f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求证：f(x)在，上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.设函数f：RR满足f(0)=1，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=_.5已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(xx)= _.6. 函数f(x)=的单调递增区间是_.7. 函数f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非）。8. 函数y=x+的值域为_.9设f(x)=,对任意的aR，记V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求V(a)的最小值。10解方程组： （在实数范围内）11设kN+, f: N+N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意nN+, 有ff(n)=kn，求证：对任意nN+, 都有nf(n)六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x0, f(x)=xf；（2）对所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设f(x)对一切x0有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意x0, f(x)f=1，试求f(1).3. f:0,1R满足：（1）任意x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y0, 1时，f(x)+f(y)f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)cx.4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数p,q(0, 1)，有p+q1p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.当x时，试求f(x)的最大值。7函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。8函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。9设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q+Q+，满足这样的条件：f(xf(y)=x, yQ+.