2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数.doc

2019-2020 年高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则 角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=, 其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（ x,y） ，到原点的距离为 r,则正 弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割函数 sec=,余 割函数 csc= 定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系： tan=,s in=， cos=；商数关系： tan=；乘积关系： tan cos=s in, cots in= cos；平方关系： sin2+ cos2=1, tan2+1=se c2, cot2+1= csc2. 定理 2 诱导公式（）s in(+)=-s in, cos(+)=- cos, tan(+)= tan, cot(+)= cot;（）s in(-)=-s in, cos(-)= cos, tan(-)=- tan, cot(-) =cot; （）s in(-)=s in, cos(-)=- cos, tan=(-)=- tan, cot(-) =-cot; （）s in=cos, cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（ xR）的性质如下。单调区间：在区间上 为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时， y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（ k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 k Z. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2 k, 2k+上单调递减，在区间2 k-, 2 k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶 函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时， y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时， y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 k Z. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间( k-, k+)上为增函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（ k，0） ， （ k+，0）均为其对称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式： cos()= cos coss ins in,s in() =sin cos coss in; tan()= 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+s in=2s incos,sin-s in=2s incos, cos+ cos=2 coscos, cos- cos=-2s insin, sin cos=s in(+)+s in(-), coss in=s in(+)-s in(-), cos cos= cos(+)+ cos(-),s ins in=- cos(+)- cos(-). 定理 8 倍角公式:s in2=2s in cos, cos2= cos2-s in2=2 cos2-1=1-2s in2, tan2= 定理 9 半角公式:s in=,cos=, tan= 定理 10 万能公式: , ,2tan1si 2tan1cos2.2tan1t 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点( a, b)的一个角为 ，则 sin=, cos=，对任意的角 . asin+ bcos=s in(+). 定理 12 正弦定理：在任意 ABC 中有 ，其中 a, b, c 分别是RCcBA2sinisin 角 A， B， C 的对边，R 为 ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意 ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A， B， C 的对 边。 定理 14 图象之间的关系： y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin()的图象（周 期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ； y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ； y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。 定义 4 函数 y=sinx 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称 为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+(-1) narcsina, n Z。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, k Z. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+ arctana, k Z。恒等式： arcsina+arccosa=； arctana+arccota=. 定理 16 若，则 sinxsin(cosx). 若，则因为 sinx+cosx= (sinxcos+sincosx)=sin(x+)，2cosin2x 所以 0sinx，则 x0，由 -0 得 cos cos(-)=s in, 所以 0s in(-)= cos, 所以 01， 所以 .2sincosiincoi 00 x 若 +，则 x0，由 00, 所以1。又 0sin1， 所以 ，得证。2sincosisincosi 00x 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先， T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其 次，当且仅当 x=k+时， y=0（因为|2 cosx|2）, 所以若最小正周期为 T0，则 T0=m, m N+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2。 4三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx= ,430sin2co1,s2x 则有 y= ).4in(ico2 因为，所以， 所以1， 所以当，即 x=2k-( k Z)时， ymin=0， 当，即 x=2k+( k Z)时， ymax=2. 【解法二】 因为 y=sinx+ ,)cos1(sin2cos12xx =2（因为( a+b)22( a2+b2)） ， 且|s inx|1，所以 0s inx+2， 所以当=s inx，即 x=2k+( k Z)时, ymax=2， 当=-s inx，即 x=2k-( k Z)时, ymin=0。 例 6 设 0，求 sin 的最大值。 【解】因为 00. 所以 sin（1+ cos）=2s incos2= 2cosin22 = 3223coin 当且仅当 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan 时，s in(1+cos)取得最大值。 例 7 若 A， B， C 为 ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sincos, sinC+sin , 23sin23cosin23C 又因为 ，3sin24cos4iii CBABABA 由，得 sinA+sinB+sinC+sin4s in, 所以 sinA+sinB+sinC3s in=, 当 A=B=C=时， （s inA+sinB+sinC） max=. 注：三角函数的有界性、|s inx|1、| cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5换元法的使用。 例 8 求的值域。 【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2cosin2xx 因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=，所以 ，21 2ty 所以 因为 t-1，所以，所以 y-1. 所以函数值域为 .,1, 例 9 已知 a0=1, an=(n N+)，求证： an. 【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an，则 an= .tan2tsico1tsect11 112 nnn 因为， an，所以 an=，所以 an= 又因为 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。 又因为当 0xsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很 容易的。 6图象变换： y=sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A, , 0). 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由 y=sinx 的图象先 保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向 左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在 区间上是单调函数，求和的值。 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对 任意 xR 成立。 又 0，解得=， 因为 f(x)图象关于对称，所以=0。 取 x=0，得=0，所以 sin 所以( kZ)，即=(2 k+1) (kZ). 又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数， 综上，=或 2。 7三角公式的应用。 例 11 已知 sin(-)=， sin(+)=- ，且 -，+，求 sin2, cos2 的值。 【解】 因为 -，所以 cos(-)=- 又因为 +，所以 cos(+)= 所以 sin2= sin(+)+(-)= sin(+) cos(-)+ cos(+) sin(-)=, cos2= cos(+)-(-)= cos(+) cos(-)+ sin(+) sin(-)=-1. 例 12 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，且，试求的值。 【解】 因为 A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)， 又由于 )120cos(cos112cos(cos10 C = ，)2(6)206(00 所以 =0。32coscos4CA 解得或。 又0，所以。 例 13 求证： tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 20cos4ini20cosin4si s13i.20cos6in20cos4i8in 三、基础训练题 1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2 sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为_。 2适合 -2cscx 的角的集合为_。xcos1cs 3给出下列命题：（1）若 ，则 sin sin；（2）若 sin sin,则 ；（3）若 sin0，则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则 sin0. 上述 四个命题中，正确的命题有_个。 4已知 sinx+cosx=(x(0, )，则 cotx=_。 5简谐振动 x1=Asin 和 x2=Bsin 叠加后得到的合振动是 x=_。 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则 1， 2， 3， 4分别是第 _象限角。 7满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有_个。 8已知，则=_。 9 =_。40cos1sintan3540co 10 cot15cos25cot35cot85=_。 11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=，求 cos 的值。 12已知函数 f(x)=在区间上单调递减，试求实数 m 的取值范围。 四、高考水平训练题 1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c0)，当扇形面积最大时， a=_. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_. 3. 函数的值域为_. 4. 方程=0 的实根个数为_. 5. 若 sina+cosa=tana, a， 则_ a（填大小关系）. 6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_. 7. 若 00cosa, 且 sincos，则的取值范围是_. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_个解. 8若 x, yR, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为_. 9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图 象与函数 g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是_. 2若，则 y=tan-tan+cos 的最大值是_. 3在 ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则=_. 4设 f(x)=x2- x, = arcsin, = arctan, = arccos, = arccot, 将 f(), f(), f(), f()从小到大排列为_. 5 logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排 列为_. 6在锐角 ABC 中， cosA=cos sin, cosB=cos sin, cosC=cos sin，则 tan tan tan=_. 7已知矩形的两边长分别为 tan 和 1+cos(0. 六、联赛二试水平训练题 1已知 x0, y0, 且 x+y0（wR）. 2. 已知 a 为锐角， n2, nN +，求证：2 n-2+1. 3. 设 x1, x2, xn, y1, y2, yn,满足 x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求证： 2xnyn3(n2). 4已知 ， 为锐角，且 cos2+ cos2+ cos2=1，求证；+m，求证：对一切 x 都有 2|sinnx-cosnx|3| sinnx-cosnx|. 7在 ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一项均为负数。 9已知 i， tan1tan2tann=2, nN +, 若对任意一组满足上述条件的 1， 2， n都有 cos1+cos2+cosn，求 的最小值。