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2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.5投影变换教学案苏教版选修4-21投影变换将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换2投影变换矩阵像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵3常见的投影变换矩阵(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x轴上的变换矩阵为；(2)将坐标平面内的图形垂直投影到y轴上的变换矩阵为；(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y轴方向投影到yx上的变换矩阵为；(4)将坐标平面内的图形沿垂直于x轴方向投影到yx上的变换矩阵为.说明投影变换虽然是映射，但不是一一映射点或平面图形在投影变换作用下的象例1已知变换T1，T2对应的矩阵分别为M和N，平面上三个点A(3,1)，B(2,3)，C(0,4)(1)分别求直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程；(2)变换T1，T2有什么不同？思路点拨二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A，B，C在T1，T2变换下得到的点A，B，C的坐标，就可以求出直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程精解详析(1)A，B，C在T1变换下变为A(3,0)，B(2,0)，C(0,0)，A，B，C在T2变换下变为A(3，1)，B(2，3)，C(0，4)直线AB的方程为y0，直线BC的方程为y0，直线AB的方程为2xy70，直线BC的方程为yx4.(2)由(1)可知，直线AB：2xy70，直线BC：yx4，在T1变换下得到的图像均为y0，在T2变换下得到两个不同的图像，所以T2是一一映射，T1不是一一映射投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示在这样的斜投影变换下，P(x，y)P(x，y)，记kcot ，则P的坐标为(xky,0)，即有 ，所以即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k0时，即为垂直投影变换1已知ABC三顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,0)，C(1,2)，此三角形在矩阵M作用下得到怎样的图形？解：因 ， ， ，故A、B、C三点在M作用下的象为A1(1，1)，B1(2,2)，C1(1,1)，而A1、B1、C1三点都在直线yx上且C1点在线段A1B1上，故ABC在矩阵M作用下的象是线段yx(1x2)2研究直线3x2y10在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义解：任取直线3x2y10上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x，y)，则有 ，整理得，即.又因为点P在直线3x2y10上，所以3x02y010，即有3x2(xy)10，即x2y10.从而直线3x2y10在矩阵作用下变成直线x2y10.其几何意义是：把直线3x2y10上的每一点沿垂直于直线x2y10的方向投影到该直线上求投影变换矩阵例2已知直线xy5在矩阵M对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M.思路点拨先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可精解详析设矩阵M，则由题意得： ，即恒有axby5，cxdy5，又因为xy5，比较得abcd1，所以M.根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点3已知变换T是将平面图形投影到直线y3x上的变换，试求它所对应的矩阵M.解：，M.4求直角坐标系内关于直线l：ykx(k0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵解：设平面内点P(x，y)在l上投影为P(x，y)，据题意解得则相应的矩阵为.1求点A(3,1)，B(2,3)，C(3,2)在矩阵对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：(1)该矩阵把直线AB变成什么图形？(2)该矩阵把线段AC变成什么图形？解：设点A，B，C在矩阵变换作用下的点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则 ，点A的坐标为(3,0)，同理B(2,0)，C(3,0)(1)易知该矩阵把直线AB变成x轴；(2)易知该矩阵把线段AC变成了一个点(3,0)2直线xy3在矩阵M对应的变换作用下变成什么图形？解：直线xy3在矩阵M对应变换下变成了点(3,0)，如图所示3正方形ABCD分别在M1，M2，M3，M4对应的变换作用下的图形是什么？请画出示意图，这里点A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)解：如图所示，根据矩阵对应变换的几何意义，可知在M1，M2，M3，M4对应变换下，正方形ABCD分别变成线段AB，AE，FG，AC.4直线xy2分别在矩阵M与矩阵N对应的变换作用下变成什么图形？解：设P(x，y)是直线xy2上任意一点，P(x，y)是矩阵M对应变换下P对应的点，则由 ，得代入xy2，得直线xy2在矩阵M对应变换下变为点(2，2)同理可得直线xy2在矩阵N对应变换下变为直线yx.5已知变换T是将平面图形沿y轴方向投影到直线y2x上的变换，试求它的变换矩阵M.解：因为 ，所以M.6圆x2y21在矩阵变换作用下得到什么图形？解：圆x2y21在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段x0(1y1)7已知变换T把平面上的所有点都垂直投影到直线yx上(1)试求出变换T所对应的矩阵M；(2)求直线xy2在变换T下所得到的图形解：(1)因为点P(x，y)在直线yx上的投影为，于是.所以矩阵M.(2)因为，xy2，故，即直线xy2在变换T下所得到的图形是一个点(1,1)8已知直线l：xy5.(1)求直线l在矩阵M对应的变换作用下得到的图形；(2)是否存在矩阵N，使直线l在矩阵N对应的变换作用下得到点(5,0)?解：(1)设P(x0，y0)是直线l：xy5上的任一点，该点在矩阵M变换作用得到的点P的坐标为(x，y)，则 .又x0y05，P(0,5)，即直线l：xy5在矩阵M对应变换作用下变为一个点(0,5)(2)假设存在适合题意的矩阵N，设N，P(x0，y0)是直线l上任一点，该点在矩阵N对应变换作用下对应的点为P(x，y)，则 .此方程组对任意x0R，y0R恒成立，且x0y05，N.即存在矩阵N，使直线l在此矩阵对应的变换作用下得到点(5,0)
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