2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第1节 函数与方程（5）教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第1节 函数与方程（5）教案 新人教A版必修1教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)0称为代数方程或超越方程一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法二分法教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论学情分析学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与函数yf(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想教学目标知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备情感态度和价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一重点难点重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解课前准备1学生要准备能进行较为复杂运算的计算器2课前学习材料：分治算法分治是实际生活中使用得比较广泛的一种解决问题的方法在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用它的一般设计模式如下：if问题规模小到可以直接解决then直接解决该问题else将问题分解成k个规模较小的子问题end iffor i1 to k递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题next i将各子问题的解合并为原问题的解设计意图从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫 教学环节创设情境 一、创设情境，引出课题问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少)让学生思考、讨论，并得出结论学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等教师根据学生得出的方法进行总结设计意图以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法 二、组织探究，导出算法1问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)ln x2x6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？设计意图上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步的深入，也揭示了本节课所要解决的问题 2将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳设计意图由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式 3通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)ln x2x6零点的过程，可用下表反映：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.562 50.066(2.5,2.562 5)2.531 250.009(2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875)2.539 062 50.010(2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001当精确度为0.01时，由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以我们可以将x2.531 25作为函数f(x)ln x2x6零点的近似值，也即方程ln x2x60根的近似值4给定精确度，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)：若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1此时零点x0(x1，b)；(4)判断是否达到精度；即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24.设计意图从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理 三、探索发现，寻找内涵1教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)设计意图从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一 2问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答 图一 图二 图三 学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间a，b上连续不断，且满足f(a)f(b)0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间a，b上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法设计意图通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟 3教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点二分法的条件f(a)f(b)011,1.5f(1.25)00.51.25,1.5f(1.375)00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析)设计意图该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数思想在解方程中的应用 2学生练习：已知f(x)22xx2，(1)如果g(x)f(2x2)，求g(x)的解析式；(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)的图象；(3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1)分析：本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题，第(2)、(3)问需用本节知识进行解决另外在求g(x)的零点时，不妨用函数g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了答案：(1)g(x)22x2x4；(2)(3)1.7.设计意图利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法，以求达到教学目标本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念 五、小结体会，教师归纳以学生发言的形式对本堂课进行小结，教师归纳强调：1二分法求方程的近似解，要求函数f(x)在某一区间a，b内连续，并且在此区间端点的函数值异号2用二分法不能求二次重根3在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”的数学思想设计意图关注学生学习的主动性，培养学生表达交流数学的能力学生的课堂小结既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固 六、作业回馈，巩固知识1教材习题3.1(A组)第36题、(B组)第4题2提高作业：(1)已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1.m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？如果函数的一个零点在原点，求m的值(2)用二分法求的近似值(精确到0.01)设计意图1为巩固作业，2为课外拓展作业，培养学生的探究、创造能力 七、课外活动，培养能力查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)设计意图增强探索精神，培养创新意识 利用函数图象解方程和函数问题1求方程xlg x3的近似解求某些方程的解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出的图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要的第一步：按键，输入函数：y1lg x，y23x.第二步：按键，画出两个函数的图象，如下图所示：第三步：按键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：xc：2.587 17，yc：0.412 826，则x2.587 17即为方程xlg x3的近似解小结：利用函数图象的交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力的工具2一片树林中现有木材30 000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x、y间的函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40 000米3？(结果保留一位有效数字)画出函数图象后，可以通过用键移动光标，寻找当y40 000时的x值；也可再作函数y240 000的图象，用求图象的交点即可