2019-2020年高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系教案 新人教B版必修1.doc

2019-2020年高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系教案 新人教B版必修1教学分析课本从学生熟悉的集合出发，引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如与的区别三维目标1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力2在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义教学难点：属于与包含之间的区别课时安排1课时导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如55,57,53等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探思路2.复习元素与集合的关系属于与不属于的关系，填空：(1)0_N；(2)_Q；(3)1.5_R.类比实数的大小关系，如57,22，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)；(2) ；(3)推进新课设Cx|x是两条边相等的三角形，Dx|x是等腰三角形；E2，4，6，F6，4，2.,你能发现两个集合间有什么共同特点吗？(2)例子中集合A是集合B的子集，例子中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子，类比实数中的结论：“若ab，且ba，则ab”，在集合中，你发现了什么结论？(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB，试用Venn图表示集合A和B的关系(7)与实数中的结论“若ab，且bc，则ac”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点教师给出定义：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA.规定：空集是任何一个集合的子集(2)从它们含有的元素间的关系来考虑规定：如果AB，但存在xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)(3)实数中的“”类比集合中的(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩(Venn)图(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制(6)分类讨论：当AB时，AB或AB.(7)类比子集讨论结果：(1)集合A中的元素都在集合B中；集合A中的元素都在集合B中；集合C中的元素都在集合D中；集合E中的元素都在集合F中可以发现：对于任意两个集合A、B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中(2)例子中AB，但有一个元素4B，且4A，而例子中集合E和集合F中的元素完全相同(3)若AB，且BA，则AB.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合(5)如图甲所示表示集合A，如图乙所示表示集合B.(6)如下图所示(7)若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.思路1例1 写出集合A1,2,3的所有子集和真子集分析：如何一个不漏地写出集合1,2,3的所有子集呢？我们采用下面的步骤：(1)因为空集是所有集合的子集，所以首先写出；(2)写出所有由一个元素构成的子集：1，2，3；(3)写出所有由两个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；(4)写出所有由三个元素构成的子集：1,2,3解：集合A的所有子集是：，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的都是A的真子集点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n0时，即空集的子集为，即子集的个数是120；当n1时，即含有一个元素的集合如a的子集为，a，即子集的个数是221；当n2时，即含有两个元素的集合如a，b的子集为，a，b，a，b，即子集的个数是422集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n1)个真子集.变式训练已知集合P1,2，那么满足QP的集合Q的个数是()A4B3C2D1解析：集合P1,2含有2个元素，其子集有224个，又集合QP，所以集合Q有4个答案：A例2 说出下列每对集合之间的关系：(1)A1,2,3,4,5，B1,3,5；(2)Px|x21，Qx|x|1；(3)Cx|x是奇数，Dx|x是整数解：(1)BA；(2)PQ；(3)CD.点评：本题主要考查集合间的包含关系其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有AB；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A、B互不包含.变式训练某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合已知集合A、B、C均不是空集(1)则下列包含关系哪些成立？AB，BA，AC，CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式当集合A中的元素都属于集合B时，则AB成立，否则AB不成立用相同的方法判断其他包含关系是否成立教师提示学生以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解： (1)包含关系成立的有：AB，AC.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如下图所示.例3 判定下列集合A与B的关系：(1)Ax|x是12的约数，Bx|x是36的约数；(2)Ax|x3，Bx|x5；(3)Ax|x是矩形，Bx|x是有一个角为直角的平行四边形解：(1)因为x是12的约数x是36的约数，所以AB；(2)因为x5x3，所以BA；(3)因为x是矩形x是有一个角为直角的平行四边形，所以AB.点评：Ax|p(x)，Bx|q(x)，则如果p(x) q(x)，则AB；反之，如果AB，则p(x) q(x).变式训练本节练习A4思路2例1 已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，则实数m_.活动：先让学生思考BA的含义，根据BA，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程求实数m的值因为BA，所以3A，m2A.对m2的值分类讨论解析：BA，3A，m2A.m21(舍去)或m22m1.解得m1.m1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性本题容易出现m23，其原因是忽视了集合元素的互异性避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合Mx|2x0，集合Nx|ax1，若NM，求实数a的取值范围分析：集合N是关于x的方程ax1的解集，集合Mx|x2，由于NM，则N或N，要对集合N是否为空集分类讨论解：由题意得Mx|x2，则N或N当N时，关于x的方程ax1中无解，则有a0；当N时，关于x的方程ax1中有解，则a0，此时x.又NM，M.2.0a.综上所得，实数a的取值范围是a0或0a，即实数a的取值范围是a|0a.例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：，a，a，b，a，b，c(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n0，n1，n2，n3时子集的个数规律，归纳猜想出结论解：(1) 的子集有：，即有1个子集；a的子集有：、a，即a有2个子集；a，b的子集有：、a、b、a，b，即a，b有4个子集；a，b，c的子集有：、a、b、c、a，b、a，c、b，c、a，b，c，即a，b，c有8个子集(2)由(1)可得：当n0时，有120个子集；当n1时，集合M有221个子集；当n2时，集合M有422个子集；当n3时，集合M有823个子集因此，含有n个元素的集合M有2n个子集点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.变式训练已知集合A2,3,7，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有 ()A3个B4个C5个 D6个解析：对集合A所含元素的个数分类讨论A或2或3或7或2,3或2,7共有6个答案：D1判断正误：(1)空集没有子集()(2)空集是任何一个集合的真子集()(3)任一集合必有两个或两个以上子集()(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.()分析：关于判断题应确实把握好概念的实质解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集对于(4)来讲，当xB时必有xA，则xA时也必有xB.2集合Ax|1x3，xZ，写出A的真子集分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n1个，则该题先找该集合元素，后找真子集解：因1x3，xZ，故x0,1,2，即Ax|1x3，xZ0,1,2真子集有、1、2、0、0,1、0,2、1,2，共7个3(1)下列命题正确的是()A无限集的真子集是有限集B任何一个集合必定有两个子集C自然数集是整数集的真子集D1是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为()10,1,21，33,10,1,21,0,20,1,20A5 B2 C3 D4(3)Mx|3x4，a，则下列关系正确的是()AaM BaM CaM DaM解析：(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系应是10,1,2，应是0,1,2，应是0故错误的有.(3)Mx|3x4，a.因3a4，故a是M的一个元素a是x|3x4的子集，那么aM.答案：(1)C(2)C(3)D4判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系(1)Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ；(2)Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ解：(1)因Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ，故A、B都是由奇数构成的，即AB.(2)因Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ，又x4n22n，在x2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x4n中，2n只能是偶数故集合A、B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.5已知集合Px|x2x60，Qx|ax10满足QP，求a所取的一切值解：因Px|x2x602，3，当a0时，Qx|ax10，QP成立又当a0时，Qx|ax10，要QP成立，则有2或3，a或a.综上所述，a0或a或a.点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论本题易漏掉a0，ax10无解，即Q为空集的情况，而当Q时，满足QP.6已知集合AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)0，要使APB，求满足条件的集合P.解：由AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)01,1，4，由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即P是B的非空子集，则满足条件的集合P为1或1或4或1,1或1，4或1，4或1,1，4点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件7集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当xZ时，求A的非空真子集个数；(3)当xR时，没有元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围解：(1)当m12m1即m2时，B满足BA.当m12m1即m2时，要使BA成立，需可得2m3.综上所得实数m的取值范围为m3.(2)当xZ时，A2，1,0,1,2,3,4,5，A的非空真子集个数为282254.(3)xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，又没有元素x使xA与xB同时成立则若B即m12m1，得m2时满足条件；若B，则要满足条件有：或解之，得m4.综上，有m2或m4.点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用问题：已知AB，且AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考AB，且AC所表达的含义AB说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数解法一：因AB，AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，由此，满足AB，有：，0，1，2，3，4，0,1，0,2，2,3，2,4，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，3,4，0,2,4，0,1,2，0,1,3，0,1,4，1,2,3，1,2,4，2,3,4，0,3,4，0,1,2,3，1,2,3,4，0,1,3,4，0,2,3，1,3,4，0,1,2,4，0,2,3,4，0,1,2,3,4，共2532(个)又满足AC的集合A有，0，2，4，8，0,2，0,4，0,8，2,4，2,8，4,8，0,2,4，0,2,8，0,4,8，2,4,8，0,2,4,8，共2416(个)其中同时满足AB，AC的有8个，即，0，2，4，0,2，0,4，2,4，0,2,4，实际上到此就可看出，上述解法太繁解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有238(个)点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛本节课学习了：子集、真子集、Venn图等概念；能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明课本本节练习B2、3、4.本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过归纳得到正确结论丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式备选例题例1 下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A四边形；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B梯形，C平行四边形；正方形是菱形，故E正方形，即A四边形，B梯形，C平行四边形，D菱形，E正方形例2 设集合Ax|x|23|x|20，Bx|(a2)x2，则满足BA的a的值共有()A2个 B3个 C4个 D5个解析：由已知得Ax|x|1或|x|22，1,1,2，集合B是关于x的方程(a2)x2的解集，BA，B或B当B时，关于x的方程(a2)x2无解，a20.a2.当B时，关于x的方程(a2)x2的解为xA，2或1或1或2.解得a1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个答案：D例3 集合Ax|0x3且xN的真子集的个数是()A16 B8 C7 D4解析：Ax|0x3且xN0,1,2，则A的真子集有2317个答案：C例4 已知集合Ax|1x3，Bx|(x1)(xa)0，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使AB成立？分析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准解：当a1时，B1，所以B是A的子集；当1a3时，B也是A的子集；当a1或a3时，B不是A的子集综上可知，当1a3时，B是A的子集由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使BA.点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键思考(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“”和“”有什么区别？剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集对于0，x240等方程来说，它们的解集中没有元素也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集这就是建立空集这个概念的背景由此看出，空集的概念是一个规定又例如，不等式|x|0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|0的解集是空集(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比符号只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1Z，Z；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如11,0，x|x0