2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第一课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第一课时） 大纲人教版必修课时安排2 课时从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a2+b22ab以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）a2+b22ab和成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.例如(-1)2+(-4)22(-1)(-4)成立，而不成立.（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当时取=号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b时取等号，其含义就是a=b；仅当a=b时取等号，其含义就是a=b.综合起来，其含义就是：a=b是的充要条件.2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n个（n是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P24“小结与复习”前的“阅读材料”）.的几何意义是“半径不小于半弦”（见课本P9图6-2中的几何意义及其说明）.当用公式a2+b22ab，证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+不是二次函数，要求它在定义域（0，+）内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x与的积为常数（即它们的几何平均数为常数）这一点出发，问题很容易解决了.在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如对于函数式x+，当x0时，不能错误地认为关系式x+2成立，并由此得出x+的最小值是2.事实上，当x0时，x+的最大值是-2，这是因为x0，-0-(x+)=(-x)+(-)2，x+-2.可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（若a，b是正数，则，当且仅当a=b时取等号），这个定理可简称为均值定理.它具体表现在：（1）均值定理的功能在于“和与积”的互化.若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.（2）“和定积最大，积定和最小”，即和为定理，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：各项或各因式均正；和或积为定值；各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件）更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”条件往往从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.课 题 6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：若a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.教学重点1.重要不等式：如果a、bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”号).2.如果a、b是正数，则为a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b是正数，那么 (当且仅当ab时取“”号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“”号的含义是：当ab时取等号，即ab；仅当ab时取等号，即ab.综合起来，就是ab是的充要条件.教学难点1.a2b22ab和成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab，ab（）2教学方法1.启发式教学法2.激励探索讨论发现.教具准备幻灯片两张第一张：记作6.2.1 A1.差值比较法：(1) 依据：abab0；abab0；abab0.(2) 步骤：作差变形判断差值符号得出结论.(3) 用途：比较两个实数的大小；证明不等式的性质；证明不等式和解不等式.第二张：记作6.2.1 B1.不等式的基本性质：(1)反对称性： abba；(2)传递性： ab，bcac；(3)可加性： abacbc；(4)可积性： ab，c0acbc，ab，c0acbc；(5)加法法则： ab，cdacbd；(6)乘法法则： ab0，cd0acbd；(7)乘方法则： ab0anbn（nN）；(8)开方法则： ab0（nN）2.应用：已知a、b为正实数，m、nN*且mn，求证：ambmamnbnanbmn.教学过程.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值”比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片6.2.1 A，请同学们回答：师“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片6.2.1 A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面.即依据是：abab0；abab0；abab0；一般步骤是：作差变形判断差值符号得出结论；主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片6.2.1 B，使学生掌握下列不等式的基本性质：(1)反对称性abba；(2)传递性ab，bcac；（3）可加性abacbc；(4)可积性ab，c0acbc；ab，c0acbc；(5)加法法则ab，cdacbd；(6)乘法法则ab0，cd0acbd；（）乘方法则ab0anbn（nN）；(8)开方法则ab0（nN).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、nN*且mn，求证：ambmamnbnanbmn.师本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成本题证明过程.生（ambm）（amnbnanbmn）（amamnbn）（bmanbmn）amn（anbn）bmn（bnan）（amnbmn）（anbn）mn1，a0，b0当ab0时，则amnbmn，anbn（amnbmn）（anbn）0当ab0时，则（amnbmn）（anbn）0当ba0时，则bmnamn，bnan（amnbmn）（anbn）0综上所述，当a、b为正实数，m、nN*且mn时，(am-n-bm-n)(an-bn)0即ambmamnbnanbmn.下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式.讲授新课重要不等式：如果a，bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”号).师请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.生a2b22aba22abb2（ab）2a，bR当ab时，ab0 即a2b22ab当ab时，ab0（ab）20 即a2b22ab综上所述：若a，bR，则a2b22ab（当且仅当ab时取“”号).师生共析很明显，在此不等式中：aba2b22ab.即当ab时取等号，其含义是aba2b22ab；仅当ab时取等号，其含义是a2b22abab.定理 如果a，b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号).师本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a，bR，则a2b22ab(当且仅当ab时取“”号)”为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).生甲a，b为正数 a0，b0a（）2，b（）2当ab即时，0，有.当ab即时，0，有综上所述，当a、b为正数时，有 (当且仅当ab时取“”号).生乙a，b是正数（）2（）22ab2显然，当且仅当ab时，即.评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.下面，我们给出定理：“如果a、b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号）”的一种几何解释(如图所示)以ab长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，Bb.过点C作垂直于直径AB的弦DD，连接AD、DB，易证RtACDRtDCB，那么D2AB即CD.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.例题已知：（ab）（xy）2（aybx），求证：.师本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)生（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bxaxaybybx0（axbx）（ayby）0（ab）（xy）0即ab与xy同号均为正数2(当且仅当时取“”号)2.师生共析我们在运用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.课堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证“（ab）（bc）（ca）8abc分析：对于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果.答案：a，b，c都是正数ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）2228abc即（ab）（bc）（ca）abc.2.已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）8x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：x，y都是正数0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20x2y220x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）2228x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）8x3y3.3.求证：（）2.分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键.答案：a2b22ab2（a2b2）a2b22ab（ab）22（a2b2）（ab）2不等式两边同除以4，得（）2即（）2.(探究性学习点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.（注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1 m旧墙费用是造1 m新墙费用的25%；（2）拆去1 m旧墙用所得材料来建1 m新墙的费用是建1 m新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？师看上面的问题，同学们如何解决？（学生探索讨论分析归纳）生从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值.师同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？（问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）生甲设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.若设建1 m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为y1=25%ax=ax；拆旧墙建新墙的费用为y2=(14-x)50%a=a(14-x)；建新墙的费用为：y3=(+2x-14)a.于是，所需要的总费用为y=y1+y2+y3=(x+)-7a2-7a=35a，当且仅当x=，即x=12时上式中“=”成立.故保留12 m旧墙时总费用为最低.师很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.本题中我们巧用了“a+b2(a0，b0)”达到解题目的.请同学们想一想：“a+b2(a0，b0)”还有些什么变形形式呢？生乙针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a+b2(a0，b0)；(a0，b0)；ab()2(a0，b0)；a2+b22ab(a,bR)；ab(a,bR).（以上公式变形对比记忆，区别异同）.2(a0，b0).师棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？生（齐）能，我们自己编！师好！我相信同学们一定会做得很出色！问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决生丙我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%（其中p0,q0）；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A小组同学说明理由.（经全班同学积极探究，A小组同学信心百倍，做出解答）.生（A小组）设某种商品提价前的价格为a，则两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+%)2.当p=q时，三种方案提价一样多；当pq时，由二元均值不等式，得(1+p%)(1+q%)0，-100，从而S100.因而S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.师同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）.（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索）.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2.课后作业(一)课本P11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P1011例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a2b22ab；（a0，b0）的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x、y都是正数，(1)若xyP是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最小值2；（2）若xyS是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最大值S2.板书设计6.2.1 算术平均数与几何平均数(一)一、重要不等式 课堂练习 课时小结a2b22ab二、定理若a0，b0， 课后作业则例题