2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系教案 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系教案 新人教B版必修2教学分析教材通过两个例题介绍了用代数方法研究直线和圆的位置关系，值得注意的是在教学中要引导学生对比例1的两种解法，使学生真正体会到解法2(几何法)的简便三维目标1掌握直线与圆的位置关系及其判定方法，培养学生分析问题和解决问题的能力2能解决与直线和圆的位置关系有关的问题，培养学生数形结合的数学思想重点难点教学重点：直线与圆的位置关系教学难点：求圆的切线方程课时安排1课时导入新课设计1.我们已经学习了直线、圆的方程，那么如何用方程来讨论直线与圆的位置关系呢？教师点出课题设计2.早晨起来，站在海边上向东方观看：太阳从海平面上缓缓升起如果把远处的海平面抽象成直线，把太阳抽象成圆，那么其中呈现直线与圆的什么位置关系？今天，我们用方程来讨论，教师点出课题推进新课讨论结果：(1)相离、相切、相交如下图所示(2)方法一：根据公共点的个数方法二：根据圆心到直线距离d与半径r的大小关系如下表所示：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系相交两个dr (3)方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组解的个数；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系思路1例1已知圆的方程是x2y22，直线方程是yxb，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法一：所求曲线公共点问题可转化为b为何值时，方程组有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题代入，整理，得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b2或b2时，0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；当b2时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如下图)解法二：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题圆的半径r，圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d.当dr，即2br，|b|2，即b2时，圆与直线相离，圆与直线无交点点评：解法一称为代数法，解法二称为几何法几何法是判定直线与圆的位置关系的最优解法代数法步骤：将直线方程与圆的方程联立成方程组；利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程；求出其判别式的值；比较与0的大小关系，若0，则直线与圆相交；若0，则直线与圆相切；若r时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切；当dr，可知直线与圆相离(2)点C到直线x2y10的距离为d2.因为d20，直线与圆相交，有两个交点解法二：圆的方程可化为x2(y1)25，其圆心的坐标为(0,1)，半径长为.圆心到直线的距离为d.直线与圆相交，有两个交点由x23x20得x12，x21.当x12时，y16320；当x21时，y26313，得交点坐标为(2,0)、(1,3)点评：利用几何法判断比利用代数方法要快但求交点坐标时仍需联立方程直线与圆的位置关系的判定：法一：看由它们的方程组成的方程组有解的个数；法二：可以依据圆心到直线的距离与半径的关系变式训练1直线l：3x4y60与圆x2y24的交点个数是()A0 B1 C2 D不确定解析：圆心(0,0)到直线l的距离d0)，如下图则弦长p2，其中d为圆心到直线xy10的距离，p22.r24.圆的方程为(x2)2(y1)24.由解得弦的两端点坐标是(2,1)、(0，1)过弦两端点的该圆的切线方程是y1和x0.知能训练1已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程答案：(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.2圆x2y22上的点到直线3x4y250的距离的最小值为()A5 B5 C3 D.答案：A3以M(4,3)为圆心的圆与直线2xy50相离，那么圆M的半径r的取值范围是()A0r2 B0r C0r2 D0r4，所以点P在圆(x2)2y24外设切线斜率为k，则切线方程为y5k(x4)，即kxy54k0.又圆心坐标为(2,0)，r2.因为圆心到切线的距离等于半径，即2，k.所以切线方程为21x20y160.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x4.7圆x2y28内有一点P0(1,2)，AB为过点P0且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当AB的长最短时，求直线AB的方程解：(1)当135时，直线AB的斜率为ktan1351，所以直线AB的方程为y2(x1)，即yx1.弦心距d，半径r2，弦长|AB|22.(2)当AB的长最短时，OP0AB，因为kOP02，所以kAB，直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.(1)已知直线l：yxb与曲线C：y有两个不同的公共点，求实数b的取值范围；(2)若关于x的不等式 xb解集为R，求实数b的取值范围解：(1)如下图，方程yxb表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线l；方程y 表示单位圆在x轴上及其上方的半圆，当直线过B点时，它与半圆交于两点，此时b1，直线记为l1；当直线与半圆相切时，b，直线记为l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)，所以1bxb恒成立，即半圆y在直线yxb上方，当直线l过点(1,0)时，b1，所以所求的b的取值范围是(，1)1判断直线与圆的位置关系的方法：几何法和代数法2求切线方程本节练习B2,3,4题本节教学设计以例题教学为主，突出了圆的几何性质的应用渗透了数形结合的思想在设计过程中，考虑到高考要求，例题的难度有所增加，在实际教学中可选择应用备选习题1圆(x1)2(y)21的切线方程中有一个是()Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：圆心为(1，)，半径为1，故此圆必与y轴(x0)相切答案：C2圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个 C3个 D4个答案：C3已知圆x24x4y20的圆心是点P，则点P到直线xy10的距离是_答案：4已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称直线3x4y110与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_解析：设圆心为C(a，b)，则由 C(0，1)设C半径为r，点C到直线3x4y110的距离为d，则d3.r2()2d29918.x2(y1)218.答案：x2(y1)2185直线l：2mxy8m30和圆C：(x3)2(y6)225.(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程(1)证明：设圆心C到直线l的距离为d，则有d，整理可得4(d21)m212md290，为使上面关于m的方程有实数解，需要12216(d21)(d29)0，解得0d，可得d5.故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交；(2)解：由(1)可知0d，即d的最大值为.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短所以当d时，线段(即弦长)的最小长度为22.将d代入可求得m，代入直线l的方程得直线与圆C截得最短线段时的方程为x3y50.