2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A版选修4-4.doc

2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A版选修4-4课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用2了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换3能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P(x，y)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标1如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上2如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标3如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中，变换将点P(x，y)变换到P(x，y)当1时，是横向拉伸变换，当01时，是纵向拉伸变换，当0|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为1(y0)易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则C、D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S2(km2)(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆1(y0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y(x1)被椭圆截得的弦长，如图因此，由13x28x320，那么弦长|x1x2| ，故暂不加固的部分长 km.已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A(，2)经过变换所得的点A的坐标；(2)点B经过变换后得到点B(3，)，求点B的坐标；(3)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程；(4)求双曲线C：x21经过变换后所得曲线C的焦点坐标【思路探究】(1)由伸缩变换求得x，y，即用x，y表示x，y；(2)(3)(4)将求得的x，y代入原方程得x，y间的关系【自主解答】(1)设点A(x，y)由伸缩变换：得到又已知点A(，2)于是x31，y(2)1.变换后点A的坐标为(1，1)(2)设B(x，y)，由伸缩变换：得到由于B(3，)，于是x(3)1，y21，B(1,1)为所求(3)设直线l上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入y6x得2y6(x)，所以yx，即yx为所求(4)设曲线C上任意一点P(x，y)，将代入x21，得1，化简得1，曲线C的方程为1.a29，b216，c225，因此曲线C的焦点F1(5,0)，F2(5,0)1解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解2伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换：，则点的坐标与曲线的方程的关系为联系类型变换前变换后点P(x，y)(x，y)曲线Cf(x，y)0f(x，y)0若将例题中第(4)题改为：如果曲线C经过变换后得到的曲线的方程为x218y，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由【解】设曲线C上任意一点M(x，y)，经过变换后对应点M(x，y)由得(*)又M(x，y)在曲线x218y上，x218y将(*)代入式得(3x)218(y)即x2y为曲线C的方程可见仍是抛物线，其中p，抛物线x2y的焦点为F(0，)准线方程为y.由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.【思路探究】区分原方程和变换后的方程设伸缩变换公式代入变换后的曲线方程与原曲线方程比较系数【自主解答】将变换后的椭圆的方程1改写为1，设伸缩变换为代入上式得1，即()2x2()2y21.与x2y21比较系数，得所以伸缩变换为因此，先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1.1求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得2解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y2sin变换为正弦曲线ysin x.【解】将变换后的曲线的方程ysin x改写为ysin x，设伸缩变换为代入ysin x，ysin x，即ysin x.比较与原曲线方程的系数，知所以伸缩变换为即先使曲线y2sin的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，得到曲线y2sin x；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得正弦曲线ysin x.(教材第8页习题1.1，第5题)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x29y29，求曲线C的方程，并画出图象(xx郑州调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线4y21，求曲线C的方程并画出图形【命题意图】本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换【解】设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M(x，y)由且M(x，y)在曲线4y21上，得1，x2y24.因此曲线C的方程为x2y24，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示).1点P(1,2)关于点A(1，2)的对称点坐标为()A(3,6)B(3，6)C(2，4) D(2,4)【解析】设对称点的坐标为(x，y)，则x12，且y24，x3，且y6.【答案】B2如何由正弦曲线ysin x经伸缩变换得到ysinx的图象()A将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的B将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍C将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的【解析】ysin xysinxysinx.故选D.【答案】D3将点P(2,2)变换为点P(6,1)的伸缩变换公式为()A. B.C. D.【解析】将与代入到公式：中，有【答案】C4将圆x2y21经过伸缩变换后的曲线方程为_【解析】由得代入到x2y21，得1.变换后的曲线方程为1.【答案】1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1动点P到直线xy40的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A直线B椭圆C双曲线 D抛物线【解析】M(2,2)在直线xy40上，点P的轨迹是过M与直线xy40垂直的直线【答案】A2若ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D钝角三角形【解析】|AB|，|BC|，|AC|，|BC|AC|AB|，ABC为等腰三角形【答案】A3在同一平面直角坐标系中，将曲线ycos 2x按伸缩变换后为()Aycos x By3cosxCy2cosx Dycos 3x【解析】由得代入ycos 2x，得cos x.ycos x，即曲线ycos x.【答案】A4将直线xy1变换为直线2x3y6的一个伸缩变换为()A. B.C. D.【解析】设伸缩变换为由(x，y)在直线2x3y6上，2x3y6，则2x3y6.因此xy1，与xy1比较，1且1，故3且2.所求的变换为【答案】A二、填空题(每小题5分，共10分)5若点P(2 012,2 013)经过伸缩变换后的点在曲线xyk上，则k_.【解析】P(2 012,2 013)经过伸缩变换得代入xyk，得kxy1.【答案】16ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是_【解析】取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(2,0)、C(2,0)、D(0,0)设A(x，y)，则|AD|.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2y29(y0)【答案】以BC的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC与圆的两个交点)三、解答题(每小题10分，共30分)7在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)x2y21；(2)1.【解】由伸缩变换得(1)将代入x2y21得9x24y21，因此，经过伸缩变换后，双曲线x2y21变成双曲线9x24y21，如图(1)所示(2)将代入1得x21，因此，经过伸缩变换后，椭圆1变成椭圆x21，如图(2)所示8台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.9.图111学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图111，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2.因为D(8,0)在抛物线上，a.曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)根据题意可知得4y27y360，解得y4或y(不合题意)y4.得x6或x6(不合题意，舍去)C点的坐标为(6,4)|AC|2，|BC|4.所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令教师备选10已知A(1,0)，B(1,0)，圆C：(x3)2(y4)24，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由【解】假设圆C上分别存在一点P使|PA|2|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2|PB|22(|PO|2|AO|2)2|PO|22，可见，当|PO|分别取得最小值和最大值时，相应地|PA|2|PB|2分别取得最小值与最大值设直线OC分别交圆C于P1，P2，则|P1O|最小，|P2O|最大，如图所示由已知条件得|OC|5，r2，于是|P1O|OC|r523，|P2O|OC|r527，所以|PA|2|PB|2的最小值为232220，最大值为2722100.下面求P1，P2的坐标：直线OC的方程为yx，由消去y并整理得25x2150x9210，(5x9)(5x21)0，解得x1，x2，或P1(，)，P2(，)为所求