2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第二课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第二课时） 大纲人教版必修教学目标(一)教学知识点1.a2+b22ab(a,bR)；(a0,b0)，当且仅当a=b时取“=”号.2.若a0，b0，且abM，M为定值，则ab，“=”当且仅当ab时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3.若a0，b0，且abP，P为定值，则ab2，“=”当且仅当ab时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）(二)能力训练要求1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2.强化双语教学.(三)德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.教学重点基本不等式a2b22ab和（a0，b0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说xy有最小值4，因为若都是负数且满足xy4，xy也是负数，此时xy可以取比4小的值.(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.教学方法激励探索讨论发现教具准备小黑板或多媒体课件一：记作6.2.2A几个重要的不等式1.a2b22ab（a，bR），当且仅当ab时取“”号.2.（a0，b0），当且仅当ab时取“”号.3. 2（ab0），当且仅当ab时取“”号.课件二：记作6.2.2 B试一试 寻思路例1 已知x，y都是正数，求证：（1）若积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）若和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2.课件三：记作6.2.2 C练一练 求稳固1.已知x0，当x取什么值时，x2+的值最小？最小值是多少？2.一段长为L m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？3.设0x0,b0,x0,y0,=1，求证：x+y()2.2.若x,y,zR,x+y+z=1，求证x2+y2+z2.教学过程师Good morning, everyone.（同学们上午好）生Good morning, teacher.（老师上午好）师Sit down, please.（请坐）Today well learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）生Yes.（是的）师OK! Now lets begin.（好！现在开始上课）.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.讲授新课想一想 公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一6.2.2 A对照检查其正确性）师谁来回答我们上一节课学的定理呢？生1a2b22ab（a，bR），当且仅当ab时取“”号；（a0，b0），当且仅当ab时取“”号；师它有哪些推广呢？生2 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；生3 （a0，b0，c0），当且仅当abc时取“”号；a3b3c33abc（a0，b0，c0），当且仅当abc时取“”号.（注：教师可板书公式）师请生3回答，你是如何想到的呢？生3我是通过课本目录，看到P24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.师非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试 寻思路教师打出课件二6.2.2 B，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想例1已知x、y都是正数，求证：(1)若积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；(2)若和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.生4（1）x，y都是正数当积xyP为定值时，有，即xy2.上式中，当xy时取“”号，故当xy时，和xy有最小值2.生5(2) x0,y0, x+y2，当和xyS为定值时，有，即xyS2.上式中，当x=y时取“=”号，故当x=y时积xy有最大值S2.(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索）生6（方法一）a0,b0,a2+b22ab，a22ab-b2，a3+b3=aa2+bb2a(2ab-b2)+b(2ab-a2)=a2b+ab2.生7（方法二）a0,b0,c0,a3+b3+c33abc，又a0,b0，a2b+ab2=aab+abb=a3+b3，即a3+b3a2b+ab2.（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）生8对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.生9在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x，当x0时，绝不能错误地认为关系式x2成立，并由此得出x的最小值是2.事实上，当x0时，x的最大值是2，这是因为x0x0，0（x）（x）（）22x2.同时还可以看出，最大值是2，它在x1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.生10在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.师上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）练一练 求稳固（打出课件三6.2.2 C，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）.课堂练习1.已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?生11x0x20，0.x221，当且仅当x2，即x3时取“”号.故x=3时，x2+的值最小，其最小值是18.2.一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?生12（方法一）设矩形菜园的宽为xm，则长为（2x）m，其中0x，其面积Sx（2x）2x（2x），当且仅当2x2x，即x时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m时菜园面积最大为 m2.生13（方法二）设矩形的长为x m，则宽为m，面积S（m2）.当且仅当xx，即x（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m2.3.设0x2，求函数f（x）的最大值，并求出相应的x值.生140x23x0，83x0f（x）4当且仅当3x83x时，即x时取“”号.故函数f（x）的最大值为4，此时x.4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?生15设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m，又设水池总造价为元.根据题意，得150120（23x23）240000720（x）.2400007202240000720240297600.当x，即x40时，有最小值297600.故当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.师（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）生16用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：（留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.师同学们完成得很好！我们继续看下面的问题：议一议 谋发展打出课件四6.2.2 D通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝探究性学习点击高考1.已知a0，b0，x0，y0，=1，求证：x+y()2.学生探索、讨论巧用条件“1=”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.生17（常见的错误解法）由二元均值不等式，得1=2，即，所以x+y222=4，故x+y4.显然上述证法中未出现（）2，证法错了.师谁勇敢地再来尝试一下呢？生18（方法一）1=，x+y=(x+y)1=(x+y)( )（巧用条件）=a+b+a+ba+b+2=()2.即x+y()2.生19（方法二）=1，设=sin2，=cos2(0a)，x+y=x+b+（解代消元）=(x-a)+a+b（巧配凑）2+a+b=()2，即x+y()2.生21（方法四）若令m=x+y，与=1联立消去y，就得关于x的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.师（证法的灵活关键在于条件的巧用）2.若x，y，zR，x+y+z=1，求证x2+y2+z2.学生探索1从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.生22（方法一）x+y+z=1，1=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zxx2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)=3(x2+y2+z2)，x2+y2+z2.生23（方法二）3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1，即x2+y2+z2.学生探索2活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=，此时x2=y2=z2=，则有如下证法.生24（方法三）=+,x2+y2+z2=(x2+)(y2+)+(z2+)-2x+2y+2z-=(x+y+z)-=-=，故x2+y2+z2.生25（常见的错误证法）x+y+z=1，令x=-t，y=-2t，z=+3t（t为参数）则有x2+y2+z2=(-t)2+(-2t)2+(+3t)2=+14t2，即x2+y2+z2.师生交流上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=-t，y=-2t,z=+3t后，只要确定了参数t的值即可确定出x,y,z的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.学生探索3采用增量换元法.生26x+y+z=1，可设x=+t1，y=+t2，z=+t3，则有t1+t2+t3=0，x2+y2+z2=(+t1)2+(+t2)2+(+t3)2=+(t1+t2+t3)+(t12+t22+t32)=+(t12+t22+t32)，即x2+y2+z2.师同学们能从多角度深化题目：“若x,y,zR，且x+y+z=1，求证：x2+y2+z2”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）生（齐）能！师需要老师给你们举一些例子吗？生NO！我们自己解决！师好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）生27从指数方向推广，有如下例子：（1）若x0，y0，z0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3.（2）若x，y，zR，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4.生28从项数方向推广，有如下例子：（1）若a，b，c，dR，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2.（2）若aiR(i=1,2,n)，a1+a2+an=1，求证：a12+a22+an2.生29从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：若a0，b0，c0，d0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3.师棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.师点培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.课时小结师我们一起回忆，小结这节课所学的内容.生（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.课后作业 (一)1.预习：课本P126.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)变形判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)得证.（二）做一做 肯定行课本P11习题6.2 4、5、7板书设计6.2.2 算术平均数与几何平均数(二)想一想 公式通 （公式 性质）试一试 寻思路 （例题 探索）练一练 求稳固 （内容 巩固）议一议 谋发展 （点击高考 知识创新）做一做 肯定行 （探究学习 掌握策略）