2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义 几个初等函数的性质教案.doc

2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义 几个初等函数的性质教案一、基础知识1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）2分数指数幂：3对数函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为R，图象过定点（1，0）当0a1时，y=logax为增函数4对数的性质（M0, N0）；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x)在a, b上连续，且f(a)f(b)0.【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则f(x)是关于x的一次函数所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2 （柯西不等式）若a1, a2,an是不全为0的实数，b1, b2,bnR，则（）（）()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, , n时成立【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,因为0，且对任意xR, f(x)0，所以=4()-4（）()0.展开得（）()()2等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, , n例3 设x, yR+, x+y=c, c为常数且c(0, 2，求u=的最小值【解】u=xy+xy+2=xy+2.令xy=t，则0t=xy,设f(t)=t+,0t因为0c2，所以00，所以=例5 对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁3指数与对数方程的解法解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1设f(x)= , 则f(x)在(-,+)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组：（其中x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6，代入得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 已知a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，则k21，所以0k1.综上，当k(-,-1) (0, 1)时，原方程有解三、基础训练题1命题p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y0”的_条件2如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_.3已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_4若log2a0，则a 取值范围是_5命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_条件6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_8若x=，则与x最接近的整数是_9函数的单调递增区间是_10函数f(x)=的值域为_11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数, n2, aR.若f(x)在x(-,1时有意义，求a的取值范围12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx0在x时恒成立，则m的取值范围是_.3若xx|log2x=2-x，则x2, x, 1从大到小排列是_.4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_.5. 命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_条件.6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8若x=，则与x最接近的整数是_.9函数y=的单调递增区间是_.10函数f(x)=的值域为_.11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数，n2,aR若f(x) 在x(-,1时有意义，求a的取值范围12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是_.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是_.8函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是_.（1）b0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b0且c=09已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是_函数（填奇偶性）.10已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1, |b|1，则f(a)+f(b)=_.11设aR，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数12设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n) x1 x2 x30，都有log1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立，则k的最大值为_.3实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为_.4已知0b1, 000的解集为_.9已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).10（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围11对于任意nN+(n1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn六、联赛二试水平训练题1设x, y, zR+且x+y+z=1，求u=的最小值2当a为何值时，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一个解（a1且a1）3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x).4. 求所有函数f：RR，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立5设m14是一个整数，函数f：NN定义如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ.7是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立8设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有9设，为实数，求所有f: R+R，使得对任意的x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立