2019-2020年高考数学 4.4 平面向量应用举例练习.doc

2019-2020年高考数学 4.4 平面向量应用举例练习 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx秦皇岛模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上一点P使有最小值,则点P的坐标为()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设点P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),故=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).2.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4相交于A,B两点且满足,O为原点.则正实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【解题提示】利用向量加减法的几何意义找到的关系,然后转化求解.【解析】选B.由可得所以点O到AB的距离d=,所以又a0,故a=2.3.(xx南宁模拟)已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,则2sincos等于()【解析】选D.由ab得cos=-2sin,所以tan=-.所以2sincos=4.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若 (其中O为坐标原点),则k的取值范围是()【解题提示】利用进行转化.【解析】选D.由两边平方化简得45,令OM=d,在RtAMO中,AOM45,所以AMd,又AM2+d2=1,所以12d2,即所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,所以故选D.5.(xx哈尔滨模拟)在ABC中,若则ABC面积的最大值为()A.24B.16C.12D.8【解题提示】先根据求b2+c2的值,从而求得bc的最大值.把cos A用bc表示,从而sin A可用bc表示,最后用SABC=bcsin A求解.【解析】选C.由题意可知AB=c,AC=b,所以bccos A=7,所以所以b2+c2=502bc,所以bc25.【加固训练】若则ABC的面积是()A.1B.2C.D.2【解析】选C.因为所以的夹角为,易知与BCA为对顶角,所以=BCA. cos=14cos=2,得cos=,所以cosBCA=,sinBCA=,所以6.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若=0,则cos B=()【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.【解析】选A.由=0得=0,又不共线,7.(xx淄博模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若(,R),则log()的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图, 令=a,=b,则=a+b,因为a,b不共线,由,得二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx牡丹江模拟)在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知所以cos(BOD+90)=-,所以sinBOD=,所以BOD=30,所以航向为北偏西30.答案:北偏西309.若等边ABC的边长为2,平面内一点M满足,则=.【解析】方法一:以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可知A(0,3),B(-,0),C(,0).答案:-210.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有极值,设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【解题提示】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以=|a|2-4ab0,因为|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos,因为0,y=cos x在0,上是减函数,所以.答案: (,【误区警示】解答本题易误填,出错的原因是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根,即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.(20分钟40分)1.(5分)(xx保定模拟)已知ABC的外接圆圆心为O,若,则ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定【解题提示】利用已知判断O点的位置,再依据O为外心可解.【解析】选C.由可得O为BC边的中点.又O为ABC的外心,故BC为ABC外接圆的直径,故BAC=90,故ABC为直角三角形.2.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,=(1,0),若则|的最小值为()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【解析】选C.设P(x,y),则=(x,y).又因为所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),因为2x-10,所以x,3.(5分)已知向量a=,=a-b,=a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【解析】因为a=,=a-b, =a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为答案: 4.(12分)(xx成都模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且mn.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.【解析】(1)由题意得mn=(a+c,b-a)(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab.由余弦定理得cos C=因为0C,所以C=.(2)因为s+t=(cos A,cos B),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+【加固训练】(xx南昌模拟)已知向量a=与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有求ABC的面积.【解析】(1)因为a与b共线,5.(13分)(能力挑战题)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足AMB=2,cos2=3,过点B的直线交曲线C于P,Q两点.(1)求的值,并写出曲线C的方程.(2)设直线PQ的倾斜角是,试求APQ的面积.【解题提示】(1)先根据向量的运算确定点M的轨迹,然后根据相关的值写出曲线C的方程.(2)写出直线PQ的方程,与曲线C的方程组成方程组,根据根与系数的关系求APQ的面积.【解析】(1)设M(x,y),在MAB中,|AB|=2,AMB=2,根据余弦定理得因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.所以曲线C的方程为(2)由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=x1+x2-2=-,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.所以SAPQ=SABP+SABQ即APQ的面积是