2019-2020年高中数学 1.1 正弦定理（第1课时）教案 苏教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 1.1 正弦定理（第1课时）教案 苏教版必修5三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；(2)能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题)，能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； (3)通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一；(4)在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力2过程与方法让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作3情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； (2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一重点、难点重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，证明正弦定理并简单应用难点：正弦定理的探索和证明及其基本应用为了突出重点，突破难点，一要抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索以及及时地鼓励，使他们知难而进；二要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导；三要抓住学生的能力线，联系方法与技能，使学生较易证明正弦定理(教师用书独具)教学建议 本节知识是必修五第一章解三角形的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，与判定三角形的全等也有密切联系建议对本节的教学应注意四点：要把探索、学习的主动权放给学生；在探索的过程中，学生思维受阻时，要适时地加以引导；留给学生足够的思考探索时间与空间，分组探究，合作学习；充分运用现代化教学手段，通过多媒体展示，直观地探索正弦定理的内容教学流程(对应学生用书第1页)课标解读1.了解正弦定理的推导过程(难点)2掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形的度量问题(重点、难点)正弦定理【问题导思】1在ABC中，若A90，B30，C60，三角所对边分别为a，b，c，则，有何关系？若A90，BC45呢？请以大家所用的一副三角板为例，进行探究【提示】通过探究，不难发现.2在ABC中，AB与sin Asin B等价吗？【提示】等价因为在ABC中，ABab，由正弦定理，a2Rsin A，b2Rsin B，ab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B.语言表述三角形各边和它所对角的正弦之比相等符号表示作用揭示了三角形边、角之间的数量关系正弦定理的应用利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求出其他的边和角(对应学生用书第1页)已知两角和任一边，解三角形在ABC中，已知A45，B30，a2，求边长b，c和角C.【思路探究】ABC中已知两角和其中一角的对边，利用内角和定理先求出另一角，再由正弦定理求解其它两边【自主解答】ABC180，C180(4530)105.根据正弦定理得b，c1，故C105，b，c1.1三角形内角和等于180，这一结论经常作为解三角形的隐含条件，本例中正是应用这个定理求角C.2解决已知两角一边类型的解题方法是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边在ABC中，a5，B45，C105，求角A及边b，c.【解】ABC180，A180(45105)30.由正弦定理，c10 sin 10510 sin(4560)(1)，b5，故A30，b5，c(1)已知两边及其中一边的对角，解三角形已知ABC中，a，b，B45，求A、C及c.【思路探究】ABC中已知两边及其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦，然后再求解其它边和角【自主解答】根据正弦定理得sin A，ba，BA，A60或120.当A60时，C180(6045)75，c2sin(4530).当A120时，C180(AB)15，c2sin(4530)，A60，C75，c或A120，C15，c.1本例中，应用正弦定理求出sin A，不要错误认为A60，而忽略掉A120.2已知两边及其中一边的对角，解三角形时，常涉及到解的不定性问题，要注意分类讨论，但有时也可根据“大边对大角”的原则进行取舍，避免分类讨论而导致增解若将例2中“a”，改为“a1”，其他条件不变，应如何求解？【解】根据正弦定理得sin A，ba，BA，A45，A30.当A30时，C180(4530)105，c2sin(6045).已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数 (xx黄冈高二检测)不解三角形判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a7，b14，A150；(3)a9，b10，A60；(4)a1，b2，A30.【思路探究】根据已知条件画图，依据高和图形判断解的个数【自主解答】(1)如图(1)，A为钝角，且ab，三角形有一解图(1)图(2)(2)如图(2)，A为钝角，且ab，无解(3)如图(3)，hbsin A5，而5910，三角形有两解图(3)图(4)(4)如图(4)，hbsin A1，ah，三角形有一解1不解三角形判断解的个数时要注意已知角是锐角，还是直角与钝角，判别的步骤不尽相同当A为钝角或直角时，只须比较已知边长a，b；当A为锐角时，除了比较a，b大小关系外，还须比较a与AB边上的高h的大小关系2已知两边一对角，判断三角形的个数，不必死记硬背，机械套用，只须数形结合，即可较易得到答案不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a7，b14，A30，(2)a30，b25，A150，(3)a7，b9，A45.【解】(1)hbsin A147，ah，三角形有一解(2)A90，且ab，三角形有一解(3)hbsin A，hab，三角形有两解.(对应学生用书第3页)解三角形时增解或漏解而致误在ABC中，(1)已知a2，b6，A30，求B；(2)已知a2，b2，A60，求B.【错解】(1)由正弦定理得sin B6，B60.(2)由正弦定理得sin B，B30或150.【错因分析】(1)漏解sin B，ab，30B180，B60或120.三角形有两解(2)增解由sin B，0B180，得B30或150.ba，BA.B150舍去【防范措施】利用大边对大角，对已知角与所求角进行分析，若所求角为大边所对的角，一般有两种情形；若所求角为小边所对的角，一般有一种情形，即为锐角【正解】(1)由正弦定理得sin B6.a26b，且0B180，30B180，B60或120.(2)由正弦定理得sin B2.0B180，B30或150.又ba，BA.B150不合题意，应舍去B30.1基础知识：(1)正弦定理；(2)解三角形的两种类型：已知两角和任一边，解三角形；已知两边和其中一边的对角，解三角形2基本技能：(1)利用正弦定理解两类三角形；(2)不解三角形，判断三角形的个数3思想方法：(1)数形结合；(2)分类讨论.(对应学生用书第3页)1在ABC中，一定成立的有_(填序号)asin Absin B；acos Abcos B；asin Bbsin A；acos Bbcos A.【解析】由正弦定理知，asin Bbsin A.【答案】2已知ABC中，a4，b4 ，A30，则B_.【解析】由正弦定理，sin B，ba，BA，B60或120.【答案】60或1203在ABC中，若B2A，ab1，则A_.【解析】ab1，sin Asin B1.sin Asin 2A1，cos A，A30.【答案】304在ABC中，B135，C15，a5，则此三角形的最大边长为多少？【解】由B135知，边b最大，又由内角和定理知A30，b5.(对应学生用书第79页)一、填空题1ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c且a，A60，C45，则c_.【解析】，c.【答案】2(xx扬州高二检测)在ABC中，已知A75，B45，c3，则b_.【解析】A75，B45，C60，b2.【答案】23在ABC中，ABC411，则abc_.【解析】由已知得A120，BC30，abcsin Asin Bsin C11.【答案】114(xx韶关高二检测)已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，B60，那么A等于_【解析】，sin A，ab，AB，A45.【答案】455在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的长为_【解析】A75，B为最小角，b为最短边，由得b.【答案】6(xx石家庄高二检测)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.【解析】由tan A2得sin A2cos A又sin 2Acos 2A1得sin A.又b5，B，根据正弦定理，a2.【答案】；27(xx广州高二检测)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b3，则_.【解析】.【答案】8若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是_【解析】因为ABC有两个，应满足条件BCsin CABBC，即asin 60a，解得a2，所以a的取值范围是(，2)【答案】(，2)二、解答题9根据下列条件，解ABC；(1)已知b4，c8，B30，求C、A、a；(2)已知B45，C75，b2，求a、c、A.【解】(1)由正弦定理得sin C1.30C150，C90，从而A180(BC)60，a4.(2)ABC180，A180(BC)180(7545)60.又，a2，同理，c21.10已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，求sin C.【解】由AC2B及ABC180，知B60，由正弦定理，sin A.由ab，知AB60，则A30，C180(3060)90，sin Csin 901.11(xx徐州检测)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b6，a2，A30，求ac的值【解】由正弦定理得sin B.由条件b6，a2，ba知BA.B60或120.(1)当B60时，C180AB180306090.在RtABC中，C90，a2，b6，c4，ac2424.(2)当B120时，C180AB1803012030，AC，则有ac2.ac2212.(教师用书独具)在ABC中，已知b，c1，B45，求a、A、C.【思路探究】先根据正弦定理求角C，再根据内角和定理求角A，最后根据正弦定理求边a.【自主解答】由正弦定理得，sin C.由cb，B45，可知C45，C30，A1803045105.再由正弦定理得，a，所以a，A105，C30.ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，c2，ab，C且有tan Atan B6，试求a，b.【解】tan(AB)，tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)tan C(1tan Atan B)tan(16)5.又tan Atan B6，且ab，tan Atan B由解得而sin A，sin B.由正弦定理得a，b.拓展正弦定理的其他几种证明方法证法一：(等积法)在任意ABC中，设BCa，ACb，ABc.先分别作出三边上的高AD、BE、CF，垂足分别为D、E、F，则ADcsin B，BEasin C，CFbsin A，SABCabsin Cacsin Bbcsin A，每项同除以abc，即得.证法二：(外接圆法)在任意ABC中，设BCa，ACb，ABc.作ABC的外接圆O.如图所示，设外接圆的半径为R，连结CO并延长，交圆O于点D，连结BD.AD，2R.同理2R，2R.2R.