2019-2020年高中数学幂函数教案新课标人教版必修1(B).doc

2019-2020年高中数学幂函数教案新课标人教版必修1(B)三维目标一、知识与技能1.理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的图象.2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.二、过程与方法1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.2.使学生进一步体会数形结合的思想.三、情感态度与价值观1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.2.利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.教学重点常见幂函数的概念、图象和性质.教学难点幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t1 km/s，这里v是t的函数.引导学生观察上述例子中函数模型，几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题）二、讲解新课1.幂函数的概念师：如果设变量为x，函数值为y，就得到函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x.它们的一般式为y=x.（得出幂函数的定义，师板书）一般地，函数y=x叫做幂函数（power function），其中x是自变量，是常数.合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论）结论：从它们的解析式来看有如下区别：幂函数底数是自变量，指数是常数；指数函数指数是自变量，底数是常数.2.几个常见幂函数的图象和性质请在同一坐标系内画出幂函数y=x、y=x2的图象.根据同学们的学习经历，请同学们在同一坐标系内画出函数y=x3，y=x1，y=x的图象.（生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生借助计算器作出函数y=x3，y=x1，y=x的图象）.借助计算机利用几何画板软件，画出函数y=x3，y=x1，y=x的图象.合作探索：观察函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的图象，将你发现的结论写在下表内.（师多媒体显示如下图表，师生共同完成下列表格的填写）y =xy=x2y=x3y=x1y=x定义域值 域奇偶性单调性定 点合作探索：根据上表的内容并结合图象，试总结函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的共同性质.让学生交流，师结合学生的回答组织学生总结出如下性质：（1）函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的图象都过点（1，1）；（2）函数y=x，y=x3，y=x1是奇函数，函数y=x2是偶函数；（3）在第一象限内，函数y=x，y=x2，y=x3，y=x是增函数，函数y=x1是减函数；（4）在第一象限内，函数y=x1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.合作探索：函数y=x3，y=x是增函数，y=x1在区间（，0）和区间（0，+）上是减函数，能否说函数y=x1在定义域内是减函数？结论：不能说函数y=x1在定义域内是减函数.理由：如果说函数y=x1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域（，0）（0，+）内的任意的自变量的值，当x1、x2（，0）（0，+）且x1x2，恒有y1y2，但在21时，（2）111，不能满足减函数的定义.方法引导：当函数f（x）的定义域不连续时，如果它在两区间上都单调递增或单调递减，不能说函数f（x）在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f（x）在各个区间上的单调性.3.例题讲解【例1】 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x2.方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.若函数解析式中含有分母，分母不能为0；若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；0的0次幂没有意义；若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.观察以上函数的解析式，解析式中的自变量x有哪些限制？结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域.师：现在我们就能解决这个问题了.解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在0，+）上单调递增，在（，0上单调递减.（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+）上单调递减.（3）函数y=x2，即y=，其定义域为（，0）（0，+），是偶函数.它在区间（，0）和（0，+）上都单调递减.【例2】 证明幂函数f（x）=在0，+）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.证明：设0x1x2，则f（x1）f（x2）=，因为x1x20，+0，所以f（x1）f（x2），即幂函数f（x）=在0，+）上是增函数.以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.合作探究：【例3】 比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（），（），1.1；（3）3.8，3.9，（1.8）；（4）31.4，51.5.方法指导：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+）上单调递增，且1.71.51，所以1.71.51.（2）（）=（），（）=（），1.1=（1.1）2=1.21.幂函数y=x在（0，+）上单调递减，且1.21，（）（）1.21，即（）（）1.1.（3）和学生一起分析：利用幂函数和指数函数的单调性可以发现03.81，3.91，（1.8）0，从而可以比较出它们的大小.（4）和学生一起分析：它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.431.551.5.方法总结：（1）在第（1）题中，底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）在第（2）题中，通过观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小.在比较幂值大小问题时，分析数据特征，合理变换数据形式，是比较数值大小的方法之一.（3）在第（3）题中，若所给的几个数底数和指数都不能化成相同的，可分组分别根据各自对应的函数的单调性比较大小，再借助于中间量1，1或0这些中间桥梁来比较它们的大小.（4）在第（4）题中，底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.4.目标检测（1）下列函数中，是幂函数的是A.y=x B.y=3x2C.y=D.y=2x（2）下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当0时，幂函数y=x是减函数C.当0时，幂函数y=x是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数（3）函数y=x的图象大致是 （4）幂函数f（x）=ax（mZ）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.答案：（1）C （2）D （3）D （4）a=1，m=1，3，5，7.三、课堂小结1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.四、布置作业板书设计2.3 幂函数1.幂函数的概念2.幂函数的性质一、幂函数的图象和性质探索过程二、例题解析及学生训练三、幂值大小比较的方法总结四、课堂小结与布置作业