2019-2020年高三数学一轮复习讲义 指数与指数函数教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三数学一轮复习讲义 指数与指数函数教案 新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题知识梳理1根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n1且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若xna，则x叫做_a的n次方根_，其中n1且nN*.式子叫做_根式_，这里n叫做_根指数_，a叫做_被开方数_(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号_表示，负的n次方根用符号_表示正负两个n次方根可以合写成_(a0)负数没有偶次方根;_（须使有意义）. 零的任何次方根都是零2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：N*).n个零指数幂：负整数指数幂： Q a0，).正分数指数幂：a=（a0，m、n都是正整数，n1）.负分数指数幂：=（a0，m、n都是正整数，n1）0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_无意义_. (2)有理指数幂的运算性质aras_(a0，r，sQ) (ar)s_(a0，r，sQ)(ab)r_(a0，b0，rQ)（注）上述性质对r、R均适用。3指数函数的图象与性质a10a0时，_；当x0时，_；当x0时，_(6)在(，) 上是_(7)在(，) 上是_1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。热身练习：1下列结论正确的个数是 ()当a0且a14如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ()Aab1cdBab1dcCba1cdDba1d1，b1，b0C0a0D0a1，by1y2 By2y1y3 Cy1y2y3Dy1y3y29. 若a1，b0，且abab2，则abab的值等于 ()A.B2或2 C2D21011.下列说法中，正确的是（ ）任取xR都有3x2x 当a1时，任取xR都有axax y=()x是增函数 y=2|x|的最小值为1 在同一坐标系中，y=2x与y=2x的图象对称于y轴ABCD探究点一有理指数幂的化简与求值例1（1） （2） 解：原式=。变式迁移1（1）化简 (1)0； （2） (1)原式21(2)1(2)1.（3）已知则 。解：，。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。（4）.下列各式中成立的一项是( ) A. B. C. D.（5）.化简= . （6）化简下列各式: (1) 指数幂化简与求值的原则和要求： (1)化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序 (2)结果要求： 若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； 若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； 结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂 探究点二指数函数的图象及其应用例2（1）.已知函数的图象恒过定点A（其坐标与a无关），则定点A的坐标为 解析：令x+20，即x-2，则f(x)-1. 图象恒点定点A （2）若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.解析：方程|ax1|2a有两个不等实根可转化为函数y|ax1|与函数y2a有两个不同交点，作出函数y|ax1|的图象，从图象观察可知只有02a1时，符合题意，即0a.（3）已知函数y()|x1|.作出函数的图象(简图)； 由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值解(1)方法一由函数解析式可得y()|x1|其图象由两部分组成：一部分是：y()x(x0) y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1)如图所示方法二由y()|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y()x的图象，保留x0的部分，当x0时，e2x10，且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确4当a0且a1时，函数f (x)=ax23必过定点 (2，2) 5、函数与的图象的交点个数是（ ）A0个 B1个 C2个 D3个指数函数图象的特点: 点评：指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则 在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小； 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 0cd1ab.探究点三指数函数的性质及应用例3（1）函数y=的值域是（ ）A.y|y0 B.y|y0 C.y|y0 D.y|y2（2）已知函数的值域为，则的范围是 （ ）A. B. C. D.（3）函数y=（）的递增区间是_.（4）下列各式中正确的是（ D ）点评：比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小（5）对于函数定义域中任意的，有如下结论：； ； 。当时，上述结论中正确结论的序号是 。（6）例2设0x2，求函数y=的最大值和最小值解析：设2x=t，x2，1t4原式化为：y=(ta)21当a1时，ymin=；当1a时，ymin=1，ymax=；当a4时，ymin=1，ymax=；当a4时，ymin=（7）已知定义域为R的函数f(x)是奇函数求a，b的值； 判断并证明函数的单调性；若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验a2适合题意，所求a、b的值分别为2、1. (2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0.从而判别式412k0，解得k.变式迁移3 （1）. 设指数函数，则下列等式不正确的是（ ）A . f(x+y)=f(x)f(y) B . f(xy)= C. D .（2）已知函数，满足，且f(0)3，则f()与f()的大小关系是解析：f(1x)f(1x)，f(x)的对称轴为直线x1. 由此得b2.又f(0)3，c3. f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增 若x0，则1，f()f()若x0，则f() f()f() （3）若函数则的值为 （4）若函数f(x)ax1(a0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a的值为_（5）函数y|2x1|在区间(k1，k1)内不单调，则k的取值范围是 （6）若关于x的方程25-|x+1|-45-|x+1|=m有实数根，则实数m的取值范围是（ ）A.m0 B.m-4 C.-4m0 D.-3m0解析：令t=5-|x+1|,则m=t2-4t=(t-2)2-4,又0t1 m关于t在（0，1上递减,故-3m0且a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值解：设，则y2t1(t1)2. 当a1时，ta ，a此时ymax2a114， 解得a3或a5(舍去) 当0a1时，ta，a1，此时ymax(a1)22a1114，解得a或a(舍去)故所求a的值为3或.（9）已知定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在1，1上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程=在上有实数解.解（1）xR上的奇函数 又2为最小正周期 设x（1，0），则x（0，1），（2）设0x1x20且a1)判断f(x)的奇偶性； 讨论f(x)的单调性；当x1,1时f(x)b恒成立，求b的取值范围对于函数，当x(1，1)时，有，求的集合A解 函数定义域为R，关于原点对称又因为f(x)(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数 当a1时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数当0a1时，a210，且a1时，f(x)在定义域内单调递增由(2)知f(x)在R上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)1.要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，1 f(1t)f(1t2)0，f(x)是奇函数，且在R上为增函数，练习：1已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是() 解析：y|f(x)|2x2|函数y|f(x)|在1，)上为增函数，在(，1)上为减函数2函数y()x1的图象关于直线yx对称的图象大致是 ()解析：选通过平移变换作出函数y()x1的图象，再作关于直线yx对称的图象即可3.正实数x1,x2及函数f(x)满足4x=,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)的最小值为（ ）A.4 B.2 C. D.解析：f(x)=，1=f(x1)+f(x2)=1-，即=1,-32=2,故3,9,f(x1+x2)=1-.当且仅当,即x1=x2=log43时等号成立.4函数的定义域是 ；的值域为 ；的值域为 。函数f(x) (a1)的值域是_ 解析：由ax0ax11，a1，y a.答案：(a，) 5函数是R上的减函数，则a的取值范围是 。6已知函数的图象经过点和原点，则 7方程的解为 。8若为奇函数，则实数 9若曲线与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_ 解析：曲线|与直线yb的 图象如图所示，由图象可得：如果 与直线yb没有公共点， 则b应满足的条件是b1,1 使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)，g(x)2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间m，n上的一个“覆盖函数”，则mn的最大值为_ 解析：因为函数f(x)与g(x)2x的 图像相交于点A(1,2)，B(2,4)，由图可 知，m，n1,2，故(mn)max211. 10已知试求的解集。11函数y12x4xa在x(，1上y0恒成立，求a的取值范围解由题意得12x4xa0在x(，1上恒成立，即a在x(，1上恒成立又因为()2x()x，设t()x，x1，t且函数f(t)t2t(t)2(t)在t时，取到最大值()x即x1时，的最大值为，a.12.若关于的方程有实数根，试求实数的取值范围。13设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 解析（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解.14.已知函数（1）证明：函数在上为增函数；（2）方程是否有负数根？若有，写出一个负数根；若没有，请给出证明。15.已知函数f(x)ab，其中常数a，b满足ab0 (1)若ab0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab0，求f(x1)f(x)时的x的取值范围 (1)判断函数f(x)的单调性可以利用函数单调性的定义由于本题中y及y都是增函数且ab0，故可分a0，b0和a0，b0两种情况，利用复合函数的单调性判断 (2)f(x1)f(x) f(x1)f(x)0 解(1)当a0，b0时，因为a、b都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为a、b都单调递减，所以函数f(x)单调递减(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0.当a0，b0时，()x，解得x ()；当a0，b0时，()x，解得x ()