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4.2 三角形及其全等,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质,五年中考,1.(2018聊城,10,3分)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在ABC外的A处,折 痕为DE.如果A=,CEA=,BDA=,那么下列式子中正确的是 ( ) A.=2+ B.=+2 C.=+ D.=180-,答案 A 设DA交AC于点F,经过折叠,A=A=,由三角形的外角定理,AFC=CEA+ A=+,BDF=A+AFD=+,即=2+,故选A.,2.(2016枣庄,4,3分),如图,在ABC中,AB=AC,A=30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D, 则D等于 ( ) A.15 B.17.5 C.20 D.22.5,审题技巧 在求与三角形有关的角度问题时,常常要用到三角形的内角和等于180,或三角形 的外角等于与它不相邻的两个内角的和.,答案 A BD平分ABC,CD平分ACE, DBE= ABC,DCE= ACE,又DCE-DBE=D,ACE-ABC=A,D= A= 30=15,故选择A.,3.(2015滨州,7,3分)在ABC中,ABC=345,则C等于 ( ) A.45 B.60 C.75 D.90,答案 C 三角形内角和是180,C=180 =75,故选C.,一题多解 本题也可以根据比例设未知数,列方程求解.设A=3x,B=4x,C=5x,则3x+4x +5x=180,解得x=15,5x=75,即C=75.,4.(2015青岛,4,3分)如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足 为E,DE=1,则BC= ( ) A. B.2 C.3 D. +2,答案 C DEAB,B=30,BD=2DE=2, DCAC,DEAB,AD是BAC的平分线, DC=DE=1, BC=BD+DC=2+1=3.故选C.,思路分析 根据“在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的 一半”可求得BD的长,再根据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可得到DE= DC,从而可求出BC的长.,考点二 全等三角形,1.(2018临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE= 1,则DE的长是 ( ) A. B.2 C.2 D.,答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90, ECB+DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1, DE=CE-CD=3-1=2.,思路分析 通过证明ACD与CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后利用线段的和差计算DE 的长.,2.(2016泰安,18,3分)如图,在PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN= AK,若MKN=44,则P的度数为 ( ) A.44 B.66 C.88 D.92,答案 D PA=PB,A=B.又BK=AM,BN=AK,AKMBNK(SAS),AMK= BKN,MKN+BKN=A+AMK,A=MKN,MKN=44,A=44,P=180-2 A=180-244=92.故答案为D.,思路分析 通过题中所给的条件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可得A=B,得到AKM BNK,所以对应角相等,再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,便可求出A 与MKN相等,最后由三角形的内角和等于180,求出P的度数.,3.(2016威海,10,3分)如图,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H. AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G.连接AD,AE.则下列结论错误的是 ( ) A. = B.AD,AE将BAC三等分 C.ABEACD D.SADH=SCEG,答案 A B=C=36,AB=AC,BAC=108, DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, DB=DA,EA=EC, B=DAB=C=CAE=36,BAD=BCA, 又B=B,BDABAC, = , ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72, ADC=DAC, CD=CA=BA, BD=BC-CD=BC-AB, 则 = = , 易求得 = = ,故A错误; BAC=108,DAB=CAE=36,DAE=BAC-DAB-CAE=36, 即DAB=DAE=CAE=36, AD,AE将BAC三等分,故B正确; BAE=BAD+DAE=72,CAD=CAE+DAE=72, BAE=CAD, 在BAE和CAD中, BAECAD,故C正确; 由BAECAD可得SBAE=SCAD, 即SBAD+SADE=SCAE+SADE, SBAD=SCAE, 又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, SADH= SABD,SCEG= SCAE, SADH=SCEG,故D正确,故选A.,4.(2018菏泽,17,6分)如图,ABCD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结 论.,解析 DF=AE. 证明:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCF ABE(SAS),DF=AE.,思路分析 由已知条件易证DCFABE(SAS),可得DF=AE.,5.(2017临沂,25,11分)数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC、BD是四边形ABCD的对角线,若 ACB=ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系? 经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABE ADC,从而容易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而 容易证明ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=,ABD=ADB=45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提 出的问题,请你写出结论,并给出证明; (2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD= ABD=ADB=”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出 的问题,请你写出结论,不用证明.,解析 (1)BC+CD= AC. 证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,AD=AB. ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180, ADC=ABE.ADCABE. AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90. CE= AC,BC+CD= AC. (2)BC+CD=2ACcos . (证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE.,ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=AB. BAD+BCD=180,ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, ADC=ABE,ADCABE,AC=AE. 过点A作AFCE,则EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos . EC=2ACcos ,BC+CD=2ACcos .),一题多解 (1)BC+CD= AC. 证明:ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90. ABC+ADC=180. 将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF, 使AB与AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三点在同一条直线上. CF= AC.BC+CD= AC.,B组 20142018年全国中考题组,考点一 三角形的相关概念及边角性质,1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( ),答案 A 三角形具有稳定性.故选A.,2.(2017广西河池,9,3分)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 ( ) A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线,答案 A 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形, 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.故选A.,3.(2016湖南岳阳,6,3分)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 ( ) A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4 cm,答案 D 对于选项A,2+3=5,不符合三角形三边关系;对于选项B,2+44,符合三角形三边关系.故选择 D.,4.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4. BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4, BC=1. 综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,5.(2017青海,5,2分)如图,在ABC中,ABC和ACB的角平分线相交于点O,若A=50,则 BOC= .,答案 115,解析 A=50,ABC+ACB=180-50=130,BO平分ABC,CO平分ACB, OBC= ABC,OCB= ACB,OBC+OCB= ABC+ ACB= (ABC+ACB)= 130=65,BOC=180-(OBC+OCB)=180-65=115.,6.(2017四川成都,12,4分)在ABC中,ABC=234,则A的度数为 .,答案 40,解析 设A=2x,则B=3x,C=4x,所以2x+3x+4x=180,解得x=20,所以A=40.,考点二 全等三角形,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的 是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符 合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的 点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE, AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样 就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选 D.,3.(2017黑龙江龙东地区,3,3分)如图,BCEF,ACDF,添加一个条件: ,使得 ABCDEF.,答案 答案不唯一,如:AB=DE、BC=EF、AC=DF或AD=BE,解析 当AB=DE时,BCEF,ABC=E, ACDF,A=EDF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(ASA), 同理,当BC=EF、AC=DF或AD=BE时,也可求证ABCDEF.,4.(2017四川达州,14,3分)ABC中,AB=5,AC=3,AD是ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范 围是 .,答案 1m4,解析 如图,延长中线AD至E,使AD=DE,连接BE. AD是ABC的中线,BD=CD. AD=DE,ADC=EDB,ACDEBD, BE=AC=3,AB-BEAEAB+BE, 5-32m5+3,1m4.,5.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD. 求证:ABCADC.,证明 AC平分BAD, BAC=DAC. (2分) 在ABC和ADC中, ABCADC(SAS). (6分),6.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与 EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG, 最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选 择判定定理.当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相 等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或 AAS.,7.(2017江苏苏州,24,8分)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交于点O. (1)求证:AECBED; (2)若1=42,求BDE的度数.,解析 (1)证明:AE和BD相交于点O,AOD=BOE.在AOD和BOE中,A=B, BEO=2,又1=2,1=BEO,1+AED=BEO+AED,即AEC=BED. 在AEC和BED中, AECBED(ASA). (2)AECBED,EC=ED,C=BDE.又1=42. C=EDC=69,BDE=C=69.,C组 教师专用题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质,1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D 和E,B=60,C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=1 80-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2017湖南株洲,5,3分)如图,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD的度数是 ( ) A.145 B.150 C.155 D.160,解析 B 由三角形内角和定理得,x+2x+3x=180,解得x=30,所以BAD=B+C=2x+3x=5x =530=150,故选B.,3.(2017浙江舟山,2,3分)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.9,答案 C 长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,7-2x7+2,即5x9,故选择C.,4.(2017四川德阳,6,3分)如图,在ABC中,AD是BC边上的高,BE平分ABC交AC边于E,BAC =60,ABE=25,则DAC的大小是 ( ) A.15 B.20 C.25 D.30,答案 B BE平分ABC,ABE=25, ABC=2ABE=50. ADBC, ADB=90, BAD=90-50=40. BAC=60, DAC=60-40=20,故选B.,5.(2016浙江丽水,9,3分)用直尺和圆规作RtABC斜边AB上的高CD,以下四个作图中,作法错 误的是 ( ),解析 D A.利用作线段垂直平分线的方法得出CDAB,从而CD是RtABC斜边AB上的高. B.根据圆中直径所对的圆周角是直角知CD是RtABC斜边AB上的高. C.根据相交圆的两圆心连线垂直平分公共弦知CD是RtABC斜边AB上的高. D.无法证明CD是RtABC斜边AB上的高.故选D.,6.(2016福建漳州,8,4分)下列尺规作图,能判断AD是ABC边上的高是 ( ),答案 B A选项,由作图痕迹可以发现图中的虚线应该是BC的垂直平分线,所以点D是BC的 中点,故AD是ABC的一条中线;B选项中的作图痕迹是经过直线外一点作已知直线的垂线,可 以发现AD与BC所在直线是垂直的,故B正确;C选项,由作图痕迹可以发现图中AD是BAC的 平分线,故C错误;D选项,由作图痕迹可以发现图中AD与AB垂直,垂足为点A,很显然,D错误.,7.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的 长等于 .,答案 6,解析 D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线. BC=2DE,DE=3,BC=6.,8.(2015湖南常德,15,3分)如图,在ABC中,B=40,三角形ABC的外角DAC和ACF的平分 线交于点E,则AEC= 度.,答案 70,解析 如图,因为AE,CE分别平分DAC和ACF,所以EAC= DAC,ECA= ACF,又 因为B=40,B+1+2=180,所以 DAC+ ACF= (B+2)+(B+1)= (B+ B+1+2)= 220=110, 所以AEC=180-(EAC+ECA) =180- =180-110=70, 故答案为70.,9.(2016四川内江,26,12分)问题引入: (1)如图,在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点,若A=,则BOC= (用 表示);如图,CBO= ABC,BCO= ACB,A=,则BOC= (用表示); 拓展研究: (2)如图,CBO= DBC,BCO= ECB,A=,猜想BOC= (用表示),并说明 理由; (3)BO、CO分别是ABC的外角DBC、ECB的n等分线,它们交于点O,CBO= DBC, BCO= ECB,A=,请猜想BOC= .,解析 (1)90+ ;120+ . 在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点, CBO= ABC,BCO= ACB. A=,BOC=180-(CBO+BCO) =180- (ABC+ACB) =180- (180-A) =180- (180-) =180-90+ =90+ . CBO= ABC,BCO= ACB,A=, BOC=180- (ABC+ACB),=180- (180-A) =180- (180-) =180-60+ =120+ . (2)120- . 理由:CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180-360-(ABC+ACB) =180-360-(180-A) =180- (180+) =180-60- ,=120- . (3) . CBO= DBC,BCO= ECB,A=, BOC=180- (DBC+ECB) =180- 360-(ABC+ACB) =180- 360-(180-A) =180- (180+) = 180- . = .,考点二 全等三角形,1.(2016淄博,11,4分)如图,直线l1l2l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3 上,ACB=90,AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1.l2与l3的距离为3.则 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,作BFl3,AEl3交l2于点G. ACB=90,BCF+ACE=90. BCF+CBF=90,ACE=CBF. 又BFC=CEA=90,BC=CA,ACECBF. CE=BF=3,CF=AE=4.BG=EF=CF+CE=7. AB= =5 . l2l3, = = .DG= . BD=BG-DG=7- = ., = = .故选择A.,解题关键 添加辅助线构造全等三角形是解题关键.,2.(2015福建莆田,6,4分)如图,AEDF,AE=DF,要使EACFDB,需要添加下列选项中的 ( ) A.AB=CD B.EC=BF C.A=D D.AB=BC,答案 A AEDF,A=D, 若AB=CD,则AC=BD, 在EAC和FDB中, EACFDB(SAS),故选A.,3.(2017湖南怀化,15,4分)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: ,使得 ABCDEC.,答案 答案不唯一,如:AB=DE或ACB=DCE或ACD=BCE,解析 AC=DC,BC=EC,当AB=DE时,ABCDEC.同理,当ACB=DCE或ACD= BCE时,ABCDEC.,4.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE, (1分) 在ABC和ADE中, (3分) ABCADE(ASA), (5分) BC=DE. (6分) (其他证法参照此标准给分),5.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一 点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的 取值范围.,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用 SSS求解.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路:,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的 另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,6.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出 CD与AB之间的关系,并证明你的结论.,解析 CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB. 证明:CE=BF,CF=BE. 在CDF和BAE中, CDFBAE,CD=BA,C=B, CDBA.,思路分析 先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.,易错警示 CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到 CD与AB之间的一种关系.,7.(2017湖北孝感,18,8分)如图,已知AB=CD,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F,BF=DE.求证 ABCD.,证明 AEBD,CFBD,AEB=CFD=90. BF=DE,BF+FE=DE+EF,即EB=DF. 在RtDCF和RtBAE中, RtDCFRtBAE(HL), D=B,DCAB.,8.(2017湖南郴州,19,6分)已知ABC中,ABC=ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE =CD.,证明 ABC=ACB,AB=AC, 又D、E分别为边AB、AC中点,AD=AE, 在ADC和AEB中, ADCAEB(SAS). BE=CD.,9.(2017贵州铜仁,22,10分)如图,已知点E,F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两 点,连接AE,CF,请你添加一个条件,使得ABECDF,并证明.,解析 添加的条件是DE=BF, 理由:四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,ABCD, EBA=FDC, DE=BF, DE+DB=BF+DB,即BE=DF, 在ABE和CDF中, ABECDF(SAS).,10.(2016湖北孝感,18,8分)如图,BDAC于点D,CEAB于点E,AD=AE. 求证:BE=CD.,证明 BDAC于点D,CEAB于点E, ADB=AEC=90. 在ABD和ACE中, ABDACE(ASA). AB=AC.又AD=AE,AB-AE=AC-AD,即BE=CD.,11.(2016湖北宜昌,18,7分)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通 过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息 汇集如下, 如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,ODCD,垂足为D.已知AB= 20米.请根据上述信息求标语CD的长度.,解析 ABDC,ABO=CDO. 又DOCD,CDO=90, ABO=90,即BOAB. 相邻两平行线间的距离相等,BO=DO. 在BOA与DOC中, BOADOC.CD=AB=20米. 故标语CD的长度为20米.,A组 20162018年模拟基础题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质,三年模拟,1.(2018泰安泰山学院附中二模,8)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3= 0的根,则该三角形的周长可以是 ( ) A.5 B.7 C.5或7 D.10,答案 B 解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,根据题意,等腰三角形的腰只能是3,底边是1,则该三 角形的周长为3+3+1=7.,2.(2018淄博周村二模,4)用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是 ( ),答案 A 根据三角形高的定义,是从点A向边BC引垂线,只有A符合要求.故选A.,考点二 全等三角形,1.(2017日照莒县一模,8)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC的是 ( ) A.CB=CD B.BAC=DAC C.BCA=DCA D.B=D=90,答案 C 选项A,添加CB=CD,根据SSS判定ABCADC,故选项A不符合题意; 选项B,添加BAC=DAC,根据SAS判定ABCADC,故选项B不符合题意; 选项C,添加BCA=DCA,ASS不能判定ABCADC,故选项C符合题意; 选项D,添加B=D=90,根据HL判定ABCADC,故选项D不符合题意,故选C.,2.(2018淄博沂源期中,19)如图,已知AD是ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要 使AEDAFD,需添加一个条件是 ,并给予证明.,解析 本题答案不唯一.如:AE=AF或EDA=FDA或AED=AFD. 证明:当AE=AF时, AD是ABC的角平分线,EAD=FAD. 在AED和AFD中, AEDAFD(SAS).,易错警示 本题容易添加条件DE=DF,误用“SSA”.,3.(2017济南市中区一模,23)如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:A=B.,证明 C是AB的中点,AC=BC, 在ACD和BCE中, ACDBCE(SSS), A=B.,一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2018泰安新泰一模,11)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点 E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 如图,过点E作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EFBC, EF=DE=2,SBCE= BCEF= 52=5.,思路分析 作EFBC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式即可求解.,B组 2016-2018年模拟提升题组,(时间:20分钟 分值:30分),2.(2018临沂模拟,12)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BCD=45,AD=2,BC=3,将 腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED,连接AE、CE,则ADE的面积是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.不能确定,答案 A 如图,过点E作EFAD交AD延长线于F,过点D作DGBC于G. 将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED, DE=DC,DEDC,CDG=EDF,CDGEDF, AD=2,BC=3,BCD=45, CG=1,DG=CG=DF=EF=1,ADE的面积是 21=1.,3.(2018济南历城一模,10)如图,ABC的面积为8 cm2,BP平分ABC,APBP于P,连接PC,则 PBC的面积为 ( ) A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2,答案 C 延长AP交BC于E,如图所示: BP平分ABC,ABP=EBP, APBP,APB=EPB=90, 在ABP和EBP中, ABPEBP(ASA),AP=EP, SABP=SEBP,SACP=SECP, SPBC= SABC= 8=4(cm2).,思路分析 延长AP交BC于E,构造全等三角形,再利用等底同高的性质把PBC的面积转化为 ABC的面积的一半.,4.(2016泰安东平一模,16)如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,AC=12,F是DE上一点,连 接AF,CF,DF=1.若AFC=90,则BC的长度为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15,答案 C AFC=90,E为AC的中点, EF= AC=6,则DE=DF+EF=1+6=7. D,E分别是AB,AC的中点,DE为ABC的中位线, BC=2DE=14,故选C.,二、解答题(共18分) 5.(2017潍坊模拟,24)【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的 判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的 情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B 进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 【深入探究】 第一种情况:当B是直角时,ABCDEF. (1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据 ,可以知道RtABC RtDEF.,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF. (2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABC DEF.,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等. (3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作 出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹) (4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论: 在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若 ,则ABC DEF.,解析 (1)HL. (2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足. ABC、DEF都是钝角, G、H分别在AB、DE的延长线上. CGAG,FHDH, CGA=FHD=90. CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH. 在BCG和EFH中, CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF, BCGEFH. CG=FH. 又AC=DF, RtACGRtDFH. A=D.,在ABC和DEF中, ABC=DEF,A=D,AC=DF, ABCDEF. 图 (3)如图,DEF就是所求作的三角形.,图 (4)本题答案不唯一,下列解法供参考. BA.,思路分析 (1)直接利用HL得出RtABCRtDEF;(2)作CGAB,交AB的延长线于G,作FH DE,交DE的延长线于H.首先得出CBGFEH(AAS),则CG=FH,进而得出RtACGRt DFH,再证出ABCDEF;(3)利用已知图形再作一个钝角三角形即可得出答案;(4)利用 (3)中方法可得出当BA时,ABCDEF.,6.(2016滨州一模,21)已知:如图,ABC和ECD都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,D为 AB边上一点. 求证:(1)ACEBCD; (2)AD2+AE2=DE2.,证明 (1)ACB=DCE=90, ACE=BCD,又ABC和ECD都是等腰直角三角形,AC=BC,EC=DC,ACE BCD(SAS). (2)由(1)知ACEBCD,EAC=B=45. 又CAB=45,EAD=90, ADE是直角三角形,AD2+AE2=DE2.,C组 20162018年模拟探究题组 1.(2018泰安中考样题,22)如图,已知ABC中,AB=AC,把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到 ADE,连接BD,CE,且BD,CE交于点F. (1)求证:AECADB; (2)若AB=2,BAC=45,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.,解析 (1)证明:由旋转的性质得ABCADE,AB=AC, AE=AD=AC=AB,BAC=DAE, BAC+BAE=DAE+BAE,即CAE=BAD. 在AEC和ADB中, AECADB(SAS). (2)四边形ADFC是菱形,DF=AC=AB=2,ACDF. 又BAC=45,DBA=BAC=45. 由(1)可知AB=AD,DBA=BDA=45, ABD是直角边长为2的等腰直角三角形, BD2=2AB2=8,即BD=2 ,BF=BD-DF=2 -2.,解题关键 此题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及菱形的性质,熟练掌握旋转 的性质是解本题的关键.,2.(2017日照模拟,23)在ABC和DEC中,AC=BC,DC=EC,ACB=ECD=90. (1)如图1,当点A、C、D在同一条直线上时,求证:AFBD; (2)如图2,当点A、C、D不在同一条直线上时,求证:AFBD; (3)如图3,在(2)的条件下,连接CF并延长交AD于点G,AFG是一个固定的值吗?若是,求出 AFG的度数;若不是,请说明理由.,解析 (1)证明: 在ACE和BCD中, ACEBCD, EAC=DBC,AEC=BEF, BFE=ACE=90, AFBD. (2)证明:如图, ACB=ECD=90,ACB+ACD=ECD+ACD, BCD=ACE. 在ACE和BCD中, ACEBCD, 1=2,3=4, BFA=BCA=90, AFBD. (3)AFG是一个固定值. 如图,过点C作CMBD,CNAE,垂足分别为M、N,ACEBCD, SACE=SBCD,AE=BD, AECN= BDCM, CM=CN,CMBD,CNAE, FC平分BFE,AFBD, BFE=90,EFC=45, AFG=45.,
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