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第二十四章 圆,本章知识梳理,考纲要求,1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系. 2. 探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系，了解并证明圆周角及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 3. 知道三角形的内心和外心.,考纲要求,4. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线. 5. 会计算圆的弧长、扇形的面积. 6. 会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形.,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,易错点 一、由于圆中有关图形的位置不确定，常常导致多解的情况发生，若不分类讨论，则会产生漏解现象. 【例1】ABC为 的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数为（ ） A. 80 B. 160 C. 100 D. 80或100,本章易错点归总,易错提示：学生易直接根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”错选A，这是由于不重视作图以及对三角形的外心与三角形的位置关系不熟悉所造成的. 解答这类问题关键有二：一是由图形未知联想到可能需要分类讨论，分类情况的意识先行；二是先画图，确定圆心角的位置，然后根据第三个顶点在圆弧上的位置分析，从而发现多解现象.,本章易错点归总,本章易错点归总,正解：如图M24-1，当点B在优弧 上时， ABC= AOC=80，当点B在劣弧AC上时，ABC=180-ABC=180-80=100. ABC的度数为80或100. 答案：D,二、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，它是三个内角平分线的交点，内心到三边的距离相等. 外心与内心是有本质区别的，不能混为一谈. 【例2】如图M24-2，E是ABC的内心，若BEC=130，则A的度数是（ ） A. 60 B. 80 C. 50 D. 65,本章易错点归总,本章易错点归总,易错提示： 学生不细心分辨内心与外心，错误认为BEC是圆心角，而A是圆周角，所以A= BEC= 130=65，故而错选D.,正解：E是ABC的内心， ABE=EBC，ACE=ECB. BEC=130，EBC+ECB=50. ABC+ACB=100.A=180-100=80. 答案：B,三、正多边形的外接圆、内切圆是同心圆，外心与内心重合，外接圆的半径就是正多边形的半径，而内切圆的半径是正多边形的边心距.解题时要看清题目，准确区分“半径”，防止出错. 【例3】若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，,本章易错点归总,本章易错点归总,易错提示：学生往往分不清楚哪是外接圆的半径，哪是内切圆的半径. 如图M24-4，点O是正方形的中心，也就是外接圆与内切圆的共同圆心，线段OA是外接圆的半径（也叫做正方形的半径），垂线段OB是内切圆的半径，不可混为一谈.,正解：正方形的边长为6，AB=3. 又AOB=45，OB=3.AO= ， 即外接圆的半径为 ，内切圆的半径为3. 答案：B,本章易错点归总,学以致用 1. 已知ABC内接于圆O，F，E是 的三等分点，若AFE=130，则C的度数为_. 2. 已知圆内接ABC，AB=AC，圆心O到BC的距离为3 cm，圆的半径为7 cm，则腰长AB=_. 3. （2017襄阳）在半径为1的 中，弦AB，AC的长分别为1和 ，则BAC的度数为_.,75或105,15或105,cm或 cm,本章易错点归总,4. 如图M24-3，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D. 求证：DE=DB.,本章易错点归总,证明：如答图M24-1所示，连接BE. E是ABC的内心，BAD=CAD, ABE=CBE. 又CBD=CAD， BED=BAD+ABE= CAD+CBE，DBE= CBD+CBE=CAD+CBE. BED=DBE. BDE是等腰三角形. DE=DB.,本章易错点归总,5. 已知：如图M24-5， 的半径为2，正方形ABCD，ABCD分别是 的内接正方形和外切正方形,求两正方形的面积比S内S外.,本章易错点归总,解：如答图M24-2所示，连接OA， 过点O作OMAD于点M. 的半径为2， OA=2. OM= AB=2OM= ，AB=2OA=4. S内S外=AB2AB2=（ABAB）2= （ 4）2= =,考点1 垂径定理,一、垂径定理 1. （2017黔西南州）如图M24-6，在O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是 （ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1,C,2. 如图M24-7，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，A=15，半径为2，则弦CD的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4,考点1 垂径定理,A,3. （2017阿坝州）如图M24-8，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ） A. 2 cm B. cm C. cm D. cm,考点1 垂径定理,D,4. （2017雅安） 的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是_. 5. （2017长沙）如图M24-9，AB为 的直径，弦CDAB于点E，已知CD=6，EB=1，则 的半径为_.,考点1 垂径定理,4OP5,5,二、垂径定理的应用 6. （2017金华）如图M24-10，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ） A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm,考点1 垂径定理,C,7. 如图M24-11是一个隧道的横断面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果圆的半径为 m，弦CD=4 m，那么隧道的最高处到CD的距离是（ ） A. m B. 4 m C. m D. 6 m,考点1 垂径定理,D,8. 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1 m，管内有少量的污水（如图M24-12），此时的水面宽AB为0.6 m. （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8 m时， 求水面上升的高度.,考点1 垂径定理,考点1 垂径定理,解：（1）如答图M24-3所示，过点O作ODAB于点C，连接OB. 由垂径定理,得 BC= AB=0.3（m）. 在RtOBC中， OC= =0.4（m）， CD=0.5-0.4=0.1（m）. 此时的水深为0.1 m.,（2）当水位上升到圆心以下时,水面宽0.8 m，则OC=0.3（m），水面上升的高度为0.2-0.1=0.1（m）； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为0.4+0.3=0.7（m）. 综上所述，水面上升的高度为0.1 m或0.7 m.,考点1 垂径定理,一、弧、弦、圆心角的关系 1. （2017宜昌）如图M24-13，四边形ABCD内接于 ，AC平分BAD，则下列结论正确的是（ ） A. AB=AD B. BC=CD C. D. BCA=DCA,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,B,2. 如图M24-14，在 中，若点C是 的中点，A=50，则BOC=（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 3. 如图M24-15，点A,B把 分成27两条弧，则AOB=_.,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,80,A,4. 如图M24-16，A,B,C,D均为 上的点，其中A,B两点的连线经过圆心O，线段AB,CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，E=16，求AOC的度数.,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,解：如答图M24-4所示，连接OD. AB=2DE=2OD， OD=DE. 又E=16， DOE=E=16. ODC=32. 同理C=ODC=32. AOC=E+OCE=48.,二、圆周角定理 5. （2017自贡）如图M24-17，AB是 的直径，PA切 于点A，PO交 于点C；连接BC，若P=40，则B等于（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 40,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,B,6. （2017常州）如图M24-18，四边形ABCD内接于 ，AB为 的直径，点C为 的中点，若DAB=40，则ABC=_. 7. （2017西宁）如图M24-19，四边形ABCD内接于 ，点E在BC的延长线上，若BOD=120，则DCE=_.,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,70,60,8. 如图M24-20，已知A，B，C，D是 上四点，点E在 上，连接BE交AD于点Q.若AQE=EDC，CQD=E，求证：AQ=BC.,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,考点2 弧、弦、圆心角、圆周角,证明：如答图M24-5，连接AB. 根据圆周角定理，可得A=E. CQD=E，CQD=A.CQAB. EBC+EDC=180，AQB+AQE=180， EBC+EDC=AQB+AQE. AQE=EDC， EBC=AQB. BCAQ. 又ABCQ， 四边形ABCQ是平行四边形.AQ=BC.,一、点和圆的位置关系 1. 在 中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，OP=6，则点P与 的位置关系是（ ） A. 点P在 上 B. 点P在 外 C. 点P在 内 D. 点P与点A或B重合,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,B,2. M，N是 上两点，已知OM=4 cm，那么一定有 （ ） A. MN8 cm B. MN=8 cm C. MN8 cm D. MN8 cm,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,D,3. 如图M24-21，已知矩形ABCD的边AB=5，BC=12，以点A为圆心作圆A，使B，C，D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是（ ） A. 5r13 B. 5r12 C. 5r12 D. 5r13,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,D,4. （2017枣庄）如图M24-22，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ） A. r B. r C. r5 D. 5r,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,B,5. 已知点P为平面内一点，若点P到 上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 的半径为_. 6. 如图M24-23，RtABC中，ABBC，AB=8，BC=3，P是ABC内部的一个动 点，且满足APB=90，则线段 CP长的最小值为_.,2或3,1,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,二、直线和圆的位置关系 7. 已知 的直径为5 cm，点O到直线l的距离为5 cm，则直线l与 （ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相切或相交,B,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,8. 如图M24-24，平面上 与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系，若 的半径为2 cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是（ ） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4,C,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,9. 如图M24-25，点P为 外一点，连接OP交 于点Q，且PQ=OQ，经过点P的直线l1，l2都与 相交，则l1与l2所成的锐角的取值范围是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,C,10. 已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心,5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 11. 已知 的半径R= cm，点O到直线l的距离为d，如果直线l与 有公共点，那么d的取值范围是_.,考点3 点和圆、直线和圆的位置关系,A,0d cm,一、外接圆与外心 1. （2017德阳）如图M24-26，点D，E分别是 的内接正三角形ABC的AB，AC边上的中点，若 的半径为2，则DE的长等于 （ ）,考点4 外接圆与内切圆,A,2. 如图M24-27， 是ABC的外接圆，BC的中垂线与 相交于D点，若A=60，C=40，则 所对圆心角的度数为（ ） A. 80 B. 70 C. 40 D. 30,C,考点4 外接圆与内切圆,3. 如图M24-28， 是ABC的外接圆，连接OB，OC，若 的半径为2，BAC=60，则BC的长为 （ ）,B,考点4 外接圆与内切圆,4. 如图M24-29，ABC内接于 ，AB=BC，ABC=120，AD为 直径， AD=8，那么AB的长为_. 5. ABC的三边分别是3，4，5， 则ABC的外接圆的半径是_. 6. 若点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=4，则ABC的面积为_.,4,8+ 或8-,考点4 外接圆与内切圆,二、内切圆与内心 7. 三角形内切圆的圆心为（ ） A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点,C,考点4 外接圆与内切圆,8. 已知：如图M24-30， 是RtABC的内切圆，C=90. （1）AOB=_； （2）若AC=12 cm，BC=9 cm，则 的半径r=_，若AC=b，BC=a，AB=c，则O的半径 r=_. （结果用含a,b,c的表达式表示）,135,3 cm,考点4 外接圆与内切圆,9. 如图M24-31，I为ABC的内切圆，D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为I的切线，若ABC的周长为19，BC边的长为5，则ADE的周长为_.,考点4 外接圆与内切圆,9,10. 直角三角形的外接圆半径为5 cm，内切圆半径为1 cm，则此三角形的周长是_. 11. 如图M24-32，在RtABC中，C=90，B=60，内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，则DEF的度数为_.,考点4 外接圆与内切圆,22 cm,75,一、切线的判定 1. 如图M24-33，RtABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，若点C在A上，则A的半径是（ ） A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm,考点5 切线的判定和性质,B,2. 如图M24-34， 的半径为6 cm，B为 外一点，OB交 于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以 cm/s的速度在 上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止. 当点P运动的时间为_ 时，BP与 相切.,考点5 切线的判定和性质,2 s或10 s,二、切线的性质 3. （2017莱芜）如图M24-35，AB是 的直径，直线DA与 相切于点A，DO交 于点C，连接BC，若ABC=21，则ADC的度数为（ ） A. 46 B. 47 C. 48 D. 49,考点5 切线的判定和性质,C,4. （2017连云港）如图M24-36，线段AB与 相切于点B，线段AO与 相交于点C，AB=12，AC=8，则 的半径长为 _.,考点5 切线的判定和性质,5,三、切线的判定与性质的综合 5. （2017天水）如图M24-37，ABD是 的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是 外一点且DBC=A，连接OE，延长与圆相交于点F，与BC相交于点C. （1）求证：BC是 的切线； （2）若 的半径为6，BC=8， 求弦BD的长.,考点5 切线的判定和性质,考点5 切线的判定和性质,（1）证明：如答图M24-6所示，连接OB. E是弦BD的中点， BE=DE，OEBD， BOE=A，OBE+BOE=90. DBC=A，BOE=DBC. OBE+DBC=90. OBC=90，即BCOB. BC是 的切线.,考点5 切线的判定和性质,（2）解：OB=6，BC=8，BCOB， OC= =10. OBC的面积= OCBE= OBBC， BE= =4.8. BD=2BE=9.6， 即弦BD的长为9.6.,6. 如图M24-38，ABC内接于 ，B=60，CD是 的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC. （1）求证：PA是 的切线； （2）若PD= ，求 的直径.,考点5 切线的判定和性质,考点5 切线的判定和性质,（1）证明：如答图M24-7所示，连接OA. B=60，AOC=2B=120. 又OA=OC， OAC=OCA=30. 又AP=AC， P=ACP=30. OAP=AOC-P=90. OAPA.PA是 的切线.,考点5 切线的判定和性质,（2）解：在RtOAP中， P=30， PO=2OA=OD+PD. 又OA=OD， PD=OA. PD= ， 2OA=2PD= 的直径为,1. （2017沈阳）如图M24-39，正六边形ABCDEF内接于 ，正六边形的周长是12，则 的半径是 （ ）,考点6 正多边形和圆,B,2. （2017滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ） 3. 如图M24-40，ABC和DEF分别是 的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（ ） A. 4 B. 2 C. D.,考点6 正多边形和圆,A,A,4. 有一个亭子的地基如图M24-41所示，它是一个半径为4 m的正六边形，它的面积是_. （保留根号）,考点6 正多边形和圆,m2,5. （2017玉林）如图M24-42，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_. 6. 如图M24-43，正方形ABCD内接于 ，其边长为2，则 的内接正三角形EFG的边长为_.,考点6 正多边形和圆,8+,7. 作图与证明： 如图M24-44，已知 和 上的一点A，请完成下列任务： （1）作 的内接正六边形ABCDEF； （2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明.,考点6 正多边形和圆,考点6 正多边形和圆,解：（1）如答图M24-8，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交 于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA， 则正六边形ABCDEF即为所求.,考点6 正多边形和圆,（2）四边形BCEF是矩形. 证明如下： 如答图M24-9，连接BF，CE，OE. 六边形ABCDEF是正六边形， AB=AF=DE=DC，FE=BC. BF=CE.,考点6 正多边形和圆,四边形BCEF是平行四边形. EOD= =60，OE=OD， EOD是等边三角形. OED=ODE=60. EDC=FED=2ODE=120. DE=DC，DEC=DCE=30. CEF=DEF-CED=90. 四边形BCEF是矩形.,一、弧长、扇形的面积计算 1. 如图M24-45， 的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，BAC=36，则劣弧BC的长是（ ）,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,B,2. （2017淄博）如图M24-46，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合. 若BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2+ B. 2+2 C. 4+ D. 2+4,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,A,3. 在半径为9 cm的圆中，长为12 cm的一条弧所对的圆心角的度数为_. 4. （2017泰州）扇形的半径为3 cm，弧长为2 cm，则该扇形的面积为_ cm2. 5. （2017黄石）如图M24-47，已知扇形OAB的圆心角为60，扇形的面积为6， 则该扇形的弧长为_.,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,240,3,2,6. （2017济南）如图M24-48，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300 cm2，BAC=120，BD=2AD，则BD的长度为 _ cm.,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,20,二、圆锥的计算 7. （2017齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. 120 B. 180 C. 240 D. 300 8. （2017遵义）已知圆锥的底面面积为9 cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 27 cm2,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,A,A,9. （2017聊城）已知圆锥形工件的底面的直径是40 cm，母线长30 cm，其侧面展开图圆心角的度数为_. 10. （2017自贡）圆锥的底面周长为6 cm，高为4 cm，则该圆锥的全面积是 _；侧面展开扇形的圆心角是_.,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,240,24 cm2,216,11. （2017苏州）如图M24-49，AB是 的直径，AC是弦，AC=3，BOC=2AOC. 若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为_.,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,12. （2017广州）如图M24-50，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，则圆锥的母线l=_.,考点7 弧长、扇形面积及圆锥的计算,
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