2019-2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.2 对数函数教案 新人教B版必修1.doc

2019-2020年高中数学 第三章 基本初等函数（）3.2 对数与对数函数 3.2.2 对数函数教案 新人教B版必修1教学分析有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成对数函数的概念是通过实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，)的理解在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数ylog2x和ylogx的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质有条件的学校也可以利用几何画板软件，定义变量a，作出函数ylogax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备三维目标1理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质2了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想3能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题4认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识5掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解6通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力重点难点教学重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明课时安排1课时导入新课思路1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用tlogP估算出土文物或古遗址的年代根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系tlogP都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数同理，对于每一个对数式ylogax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以ylogax是关于x的函数这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y2x表示现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是xlog2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是ylog2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数对数函数教师点出课题：对数函数推进新课(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？(3)为什么对数函数的概念中明确规定a0，a1?(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x，漂洗2次存留污垢x()2，漂洗y次后存留污垢x()y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得yx，当x时，y3，因此至少要漂洗3次(2)对于式子yx，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：根据对数式xlogay(a0，a1)，对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量函数xlogay(a0，a1，y0)叫做对数函数它的定义域是正实数集，值域是实数集R.由对数函数的定义可知，在指数函数yax和对数函数ylogay中，x，y两个变量之间的关系是一样的所不同的只是在指数函数yax里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数xlogay中，y当作自变量，x是因变量习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成ylogax(a0，a1，x0)(3)根据对数与指数式的关系，知ylogax可化为ayx，由指数的概念，要使ayx有意义，必须规定a0，a1.(4)因为ylogax可化为xay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay0，所以x(0，)，对数函数的值域为R.(5)只有形如ylogax(a0，a1，x0)的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数像yloga(x1)，y2logax，ylogax1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数x1248ylog2x210123再用描点法画出图象如下图方法二：画出函数xlog2y的图象，再变换为ylog2x的图象由于指数函数yax和对数函数xlogay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数xlog2y和y2x的图象是一样的(如下图(1)用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到ylog2x的图象(如下图(2)习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把上图(2)翻转，使x轴在水平位置，得到通常的ylog2x的图象(如上图(3)观察对数函数ylog2x的图象，过点(1,0)，即x1时，y0；函数图象都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x1时，ylog2x的图象位于x轴上方，即x1时，y0；函数ylog2x在(0，)上是增函数对数函数ylogax(a0，a1)，在其底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质可以总结如下表a10a1图象性质(1)定义域：(0，)(1)定义域：(0，)(2)值域：R(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)是(0，)上的增函数(5)是(0，)上的减函数思路1例1求下列函数的定义域：(1)ylogax2；(2)yloga(4x)解：(1)要使函数有意义，必须x20，即x0，所以函数ylogax2的定义域是x|x0，或记为(，0)(0，)(2)要使函数有意义，必须4x0，即x4，所以函数yloga(4x)的定义域是(，4)点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.变式训练求下列函数的定义域：(1)ylog3(2x2)；(2)ylog(x2)(x1)答案：(1)(1，)；(2)(2,3)(3，).例2 (1)比较log23与log23.5的大小；(2)已知log0.7(2m)log0.7(m1)，求m的取值范围解：(1)考察函数ylog2x，它在区间(0，)上是增函数因为33.5，所以log23log23.5；(2)考察函数ylog0.7x，它在(0，)上是减函数因为log0.7(2m)log0.7(m1)，所以2mm10.由得m1.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a0，a1)解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数ylog2x的图象，如下图在图象上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所以log24.7log25.3.解法二：由函数ylog2x在(0，)上是单调增函数，且4.75.3，所以log24.7log25.3.(2)因为0.21，函数ylog0.2x是减函数，79，所以log0.27log0.29.(3)解法一：因为函数ylog3x和函数ylogx都是定义域上的增函数，所以log3log1log33log3.所以log3log3.解法二：直接利用对数的性质，log31，而log31，因此log3log3.(4)当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，且3.15.2，所以loga3.1loga5.2.当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数，且3.15.2，所以loga3.1loga5.2.思路2例1已知f(x)1logx3，g(x)2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)(1，)f(x)g(x)1logx32logx21logx3logx4logxx.(1)当0x1时，若0x1，即0x，此时logxx0，即0x1时，f(x)g(x)；若x1，即x，这与0x1相矛盾(2)当x1时，若x1，即x，此时logxx0，即x时，f(x)g(x)；若x1，即x，此时logxx0，即x时，f(x)g(x)；若0x1，即0x，此时logxx0，即1x时，f(x)g(x)综上所述，当x(0,1)(，)时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当x(1，)时，f(x)g(x)点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.变式训练已知logm5logn5，比较m、n的大小活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为，由已知条件知道m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m、n的大小关系解：因为logm5logn5，所以.当m1，n1时，得0，所以log5nlog5m.所以mn1.当0m1,0n1时，得0，所以log5nlog5m.所以0nm1.当0m1，n1时，得log5m0，log5n0，所以0m1，n1.所以0m1n.综上所述，m、n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n.例2求函数ylog2(x2x6)的单调区间，并证明活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性定义法求函数的单调区间，其步骤是：确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1x2；通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；再归纳结论解法一：由x2x60，得x2或x3，不妨设x1x22，则f(x1)f(x2)log2(xx16)log2(xx26)log2log2.因为x1x22，所以x13x230，x12x220.所以1.所以log2log20，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数f(x)log2(x2x6)在区间(，2)上是减函数同理，函数f(x)log2(x2x6)在区间(3，)上是增函数解法二：令ux2x6，则ylog2u.因为ylog2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；当u为x的减函数时，y为x的减函数由x2x60，得x2或x3，借助于二次函数的图象，可知当x(，2)时，u是x的减函数，当x(3，)时，u是x的增函数所以原函数的单调减区间是(，2)，单调增区间是(3，)点评：本题考查复合函数单调性的判定方法一般地，设函数yf(u)，ug(x)都是给定区间上的单调函数若yf(u)，ug(x)在给定区间上的单调性相同，则函数yfg(x)是增函数；若yf(u)，ug(x)在给定区间上的单调性相反，则函数yfg(x)是减函数1函数y的定义域是()A(3，) B3，)C(4，) D4，)2求ylog0.3(x22x)的单调递减区间3求函数ylog2(x24x)的单调递增区间4已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，求a的取值范围答案：1.D要使函数有意义，需log2x20，log2x2，x4，因此函数的定义域是4，)2先求定义域：由x22x0，得x(x2)0，所以x0或x2.因为函数ylog0.3t是减函数，故所求单调减区间即为tx22x在定义域内的增区间又tx22x的对称轴为x1，所以所求单调递减区间为(2，)3先求定义域：由x24x0得x(x4)0，所以x0或x4.又函数ylog2t是增函数，故所求单调递增区间即为tx24x在定义域内的单调递增区间因为tx24x的对称轴为x2，所以所求单调递增区间为(4，)4解：因为a0且a1，(1)当a1时，函数t2ax0是减函数；由yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，知ylogat是增函数，所以a1；由x0,1时，2ax2a0，得a2，所以1a2.(2)当0a1时，函数t2ax0是增函数；由yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，知ylogat是减函数，所以0a1.由x0,1时，2ax210，所以0a1.综上所述，0a1或1a2.探究ylogax的图象随a的变化而变化的情况用计算机先画出ylog2x，ylog3x，ylog5x，ylogx，ylogx的图象，如下图通过观察图象可总结如下规律：当a1时，a值越大，ylogax的图象越靠近x轴；当0a1时，a值越大，ylogax的图象越远离x轴1对数函数的概念2对数函数的图象与性质课本习题32 A4、5.本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务