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2019-2020年高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测1导数的概念(1)平均变化率一般地,函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为.(2)函数yf(x)在xx0处的导数定义:设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),若x无限趋近于0时,此值无限趋近于一个常数A,则称f(x)在xx0处可导,并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数,记作f(x0)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x,(cos x)sin_x,(ax)axln_a,(ex)ex,(logax),(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0)小题体验1(教材习题改编)一次函数f(x)kxb在区间m,n上的平均变化率为_解析:由题意得函数f(x)kxb在区间m,n上的平均变化率为k.答案:k2(教材习题改编)如图,函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx5,则f(3)_,f(3)_.解析:由图知切点为(3,2),切线斜率为1.答案:213设函数f(x)在(0,)内可导,且f(x)xln x,则f(1)_.解析:由f(x)xln x(x0),知f(x)1,所以f(1)2.答案:24(xx天津高考)已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数若f(1)3,则a的值为_解析:f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a,又f(1)3,所以a3.答案:31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆2求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(e)ln x,则f(e)_.解析:对关系式f(x)2xf(e)ln x两边求导,得f(x)2f(e),令xe,得f(e)2f(e),所以f(e).答案:2已知f(x)x23xf(2),则f(2)_.解析:因为f(x)2x3f(2),所以f(2)43f(2),所以f(2)2,所以f(x)x26x,所以f(2)22628.答案:83已知定义在R上的函数f(x)exx2xsin x,则曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程是_解析:令x0,得f(0)1.对f(x)求导,得f(x)ex2x1cos x,所以f(0)1,故曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为yx1.答案:yx1题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x;(2)yln x;(3)y;(4)y.解:(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)y,y.谨记通法求函数导数的3种原则命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题常见的命题角度有:(1)求切线方程;(2)求切点坐标;(3)求参数的值题点全练角度一:求切线方程1(xx南通调研)已知f(x)x32x2x6,则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析:f(x)x32x2x6,f(x)3x24x1,f(1)8,故切线方程为y28(x1),即8xy100,令x0,得y10,令y0,得x,所求面积S10.答案:角度二:求切点坐标2若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10,则点P的坐标是_解析:由题意得yln xx1ln x,直线2xy10的斜率为2.设P(m,n),则1ln m2,解得me,所以neln ee,即点P的坐标为(e,e)答案:(e,e)角度三:求参数的值3(xx南京外国语学校检测)已知函数f(x)x4ax2bx,且f(0)13,f(1)27,则ab_.解析:f(x)4x32axb,由ab18.答案:18方法归纳导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是xx0;(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解一抓基础,多练小题做到眼疾手快1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_解析:f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3,f(x)3(x2a2)答案:3(x2a2)2已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)_.解析:由f(x)2xf(1)ln x,得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1,则f(1)1.答案:13(xx徐州一中检测)曲线yf(x)x(x1)(x2)(x6)在原点处的切线方程为_解析:y(x1)(x2)(x6)x(x1)(x2)(x6),所以f(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0720.故切线方程为y720x.答案:y720x4(xx全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a_.解析:f(x)3ax21,f(1)3a1.又f(1)a2,切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7),7(a2)3a1,解得a1.答案:15已知曲线yx3x2在点P0处的切线l与直线4xy10平行,且点P0在第三象限,则点P0的坐标为_解析:设P0(x0,y0)由yx3x2,得y3x21.由已知,得3x14,解得x01.当x01时,y00;当x01时,y04.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为(1,4)答案:(1,4)二保高考,全练题型做到高考达标1某物体做直线运动,其运动规律是st2(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度为_ m/s.解析:s2t,在第4 s末的瞬时速度vst48 m/s.答案:2(xx苏州二模)已知函数f(x)(x22)(ax2b),且f(1)2,则f(1)_.解析:f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b,f(x)4ax32(2ab)x为奇函数,所以f(1)f(1)2.答案:23已知f(x)x(2 015ln x),若f(x0)2 016,则x0_.解析:f(x)2 015ln xx2 016ln x,故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016,则ln x00,解得x01.答案:14(xx金陵中学模拟)设点P是曲线yx3x上的任意一点,P点处切线倾斜角的取值范围为_解析:因为y3x2,故切线斜率k,所以切线倾斜角的取值范围是.答案:5已知f(x)ln x,g(x)x2mx(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1),则m的值为_解析:f(x),直线l的斜率为kf(1)1,又f(1)0,切线l的方程为yx1.g(x)xm,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0m1,y0x01,y0xmx0,m0)在x1处的切线为l,求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值解:因为f(1)1,所以切点为.由已知,得f(x),切线斜率kf(1),所以切线l的方程为y(x1),即2xaya10.令y0,得x;令x0,得y.所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S21,当且仅当a,即a1时取等号,所以Smin1.故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1已知曲线C:f(x)x3axa,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为_解析:设切点坐标为(t,t3ata)由题意知,f(x)3x2a,切线的斜率kyxt3t2a,所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt).将点A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t),解得t0或t.分别将t0和t代入式,得ka和ka,由题意得它们互为相反数,故a.答案:2(xx无锡一中检测)已知函数f(x)fcos xsin x,则f的值为_解析:f(x)fcos xsin x,f(x)fsin xcos x,ff,f1.故f(1)1.答案:13(xx苏北四市调研)设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线yf(x)上任意一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值,并求此定值解:(1)f(x)a.点(2,f(2)在切线7x4y120上,f(2).又曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120,f(x)的解析式为f(x)x.(2)设为曲线yf(x)上任意一点,则切线的斜率k1,切线方程为y(xx0),令x0,得y.由得曲线yf(x)上任意一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积S|2x0|6,为定值第二节 导数的应用1函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数f(x)0f(x)在(a,b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值:函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点xa附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值:函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值小题体验1(教材习题改编)函数f(x)x2ex的单调增区间是_解析:函数f(x)的定义域为R,f(x)2xexx2exex(2xx2),令f(x)0,得x0,所以函数f(x)的单调增区间为(,2)和(0,)答案:(,2),(0,)2(教材习题改编)函数f(x)x3x24x取得极大值时x的值是_解析:f(x)x23x4,令f(x)0,得x11,x24,经检验知x4时,函数y取得极大值答案:43(教材习题改编)函数f(x)xsin x在区间0,2上的最大值为_解析:f(x)cos x,令f(x)0,x0,2,得x或x,又f(0)0,f.f,f(2).所以函数f(x)在区间0,2上的最大值为.答案:4已知f(x)x3ax在1,)上是增函数,则a的最大值是_答案:31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯,会造成问题不能直观且有条理的解决2求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f(x)0时的情况;区分极值点和导数为0的点小题纠偏1已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10,则的值为_解析:由题意,知f(x)3x22axb.由函数f(x)在x1处取得极大值10,知即解得或经检验满足题意,故.答案:2若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1,k1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是_解析:因为f(x)4x(x0),所以可求得f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.又函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则解得1k.答案:3函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_解析:y6x24x,令y0,得x0或x.f(1)4,f(0)0,f,f(2)8.最大值为8.答案:8第一课时导数与函数的单调性典例引领设a2,0,已知函数f(x)证明f(x)在区间(1,1)内单调递减,在区间(1,)内单调递增证明:设函数f1(x)x3(a5)x(x0),f2(x)x3x2ax(x0),f1(x)3x2(a5),由于a2,0,从而当1x0时,f1(x)3x2(a5)3a50,所以函数f1(x)在区间(1,0内单调递减f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1),由于a2,0,所以当0x1时,f2(x)1时,f2(x)0,即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,)内单调递增综合及f1(0)f2(0),可知函数f(x)在区间(1,1)内单调递减,在区间(1,)内单调递增由题悟法导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的3步骤(1)一求求f(x);(2)二定确认f(x)在(a,b)内的符号;(3)三结论作出结论:f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数提醒研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论即时应用已知函数f(x)ln x.(1)求证:f(x)在区间(0,)上单调递增;(2)若fx(3x2),求实数x的取值范围解:(1)证明:由已知得f(x)的定义域为(0,)f(x)ln x,f(x).x0,4x23x10,x(12x)20.当x0时,f(x)0.f(x)在(0,)上单调递增(2)f(x)ln x,f(1)ln 1.由fx(3x2)得fx(3x2)f(1)由(1)得解得x0或x1.实数x的取值范围为.典例引领已知函数f(x)mx3nx2(m,nR,m0),函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n;(2)求函数f(x)的单调增区间解:(1)由已知条件得f(x)3mx22nx,又f(2)0,所以3mn0,故n3m.(2)因为n3m,所以f(x)mx33mx2,所以f(x)3mx26mx.令f(x)0,即3mx26mx0,当m0时,解得x2,则函数f(x)的单调增区间是(,0)和(2,);当m0时,解得0x0时,函数f(x)的单调增区间是(,0)和(2,);当mg(3),因此2a6,解得a3.综上所述,实数a的取值范围是(,3,)答案:(,3,)3函数f(x)1xsin x 在(0,2)上的单调情况是_解析:在(0,2)上有f(x)1cos x0,所以f(x)在(0,2)上单调递增答案:单调递增4(xx启东模拟)已知a1,f(x)x33|xa|,若函数f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M,m,则Mm的值为_解析:当x1,1时,f(x)x33(ax)x33x3a(a1),f(x)3(x1)(x1)当1x1时,f(x)0,所以原函数f(x)在区间1,1上单调递减,所以Mf(1)3a2,mf(1)3a2,所以Mm4.答案:45(xx苏州测试)已知函数f(x)x22axln x,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围为_解析:f(x)x2a0在上恒成立,即2ax在上恒成立,max,2a,即a.答案:二保高考,全练题型做到高考达标1函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析:由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33,令f(x)0,即3(x11)(x1)0,解得1x11,所以函数f(x)的单调减区间为(1,11)答案:(1,11)2若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析:设幂函数f(x)x,因为图象过点,所以,2,所以f(x)x2,故g(x)exx2,令g(x)exx22exxex(x22x)0,得2x0,故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)答案:(2,0)3(xx南通、扬州、淮安、连云港调研)设f(x)4x3mx2(m3)xn(m,nR)是R上的单调增函数,则实数m的值为_解析:因为f(x)12x22mxm3,又函数f(x)是R上的单调增函数,所以12x22mxm30在R上恒成立,所以(2m)2412(m3)0,整理得m212m360,即(m6)20.又因为(m6)20,所以(m6)20,所以m6.答案:64已知函数f(x)x在(,1)上单调递增,则实数a的取值范围是_解析:函数f(x)x的导数为f(x)1,由于f(x)在(,1)上单调递增,则f(x)0在(,1)上恒成立,即x2在(,1)上恒成立由于当x1时,x21,则有1,解得a1或a0.答案:(,0)1,)5(xx南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围为_解析:由f(x)2x33x2m,得f(x)6x26x,所以f(x)在0,1上单调递增,即f(x)2x33x2m与x轴至多有一个交点,要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,即从而可得m(5,0)答案:(5,0)6若函数f(x)ax33x在(1,1)上为单调递减函数,则实数a的取值范围是_解析:f(x)3ax23,f(x)在(1,1)上为单调递减函数,f(x)0在(1,1)上恒成立,即3ax230在(1,1)上恒成立当x0时,aR;当x0时,a,x(1,0)(0,1),a1.综上,实数a的取值范围为(,1答案:(,17(xx盐城中学模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1,且f(x)的导数f(x),则不等式f(x2)的解集为_解析:设F(x)f(x)x,F(x)f(x),f(x),F(x)f(x)0,即函数F(x)在R上单调递减f(x2),f(x2)f(1),F(x2)1,即x(,1)(1,)答案:(,1)(1,)8若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是_解析:对f(x)求导,得f(x)x2x2a22a.当x时,f(x)的最大值为f2a.令2a0,解得a.所以a的取值范围是.答案:9(xx镇江五校联考)已知函数f(x)(k为常数,e是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间解:(1)由题意得f(x),又f(1)0,故k1.(2)由(1)知,f(x).设h(x)ln x1(x0),则h(x)0,即h(x)在(0,)上是减函数由h(1)0知,当0x1时,h(x)0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)10(xx徐州调研)已知函数f(x)ln x,g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切,求g(x)的表达式;(2)若(x)f(x)在1,)上是减函数,求实数m的取值范围解:(1)由已知得f(x),f(1)1a,a2.又g(1)0ab,b1,g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1,)上是减函数(x)0在1,)上恒成立即x2(2m2)x10在1,)上恒成立,则2m2x,x1,),x2,),2m22,m2.故实数m的取值范围是(,2三上台阶,自主选做志在冲刺名校1已知a0,函数f(x)(x22ax)ex,若f(x)在1,1上是单调减函数,则a的取值范围是_解析:f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex,由题意知当x1,1时,f(x)0恒成立,即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a,则有即解得a.答案:2(xx泰州模拟)若函数f(x)x2|xa|在区间0,2上单调递增,则实数a的取值范围是_解析:当a0时,f(x)x3ax2,f(x)3x22ax0在0,)上恒成立,所以f(x)在0,)上单调递增,则也在0,2上单调递增,成立;当a0时,f(x)当0xa时,f(x)2ax3x2,令f(x)0,则x0或xa,则f(x)在上单调递增,在上单调递减;当xa时,f(x)3x22axx(3x2a)0,所以f(x)在(a,)上单调递增,所以当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,)上单调递增要使函数在区间0,2上单调递增,则必有a2,解得a3.综上,实数a的取值范围是(,03,)答案:(,03,)3已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的t1,2,函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),且f(x).当a0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,);当a0时,f(x)的增区间为(1,),减区间为(0,1);当a0时,f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1,即a2,f(x)2ln x2x3,f(x).g(x)x3x22x,g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2,当g(t)0,即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立,由于g(0)0,故只要g(1)0且g(2)0,即m5且m9,即m9;由g(3)0,即m.所以m9.即实数m的取值范围是.第二课时导数与函数的极值、最值命题分析函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有填空题,也有解答题,难度适中,为中高档题常见的命题角度有:(1)已知函数求极值;(2)已知极值求参数;(3)由图判断极值题点全练角度一:已知函数求极值1已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时,求曲线yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值解:由题意知函数f(x)的定义域为(0,),f(x)1.(1)当a2时,f(x)x2ln x,f(x)1(x0),因为f(1)1,f(1)1,所以曲线yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y1(x1),即xy20.(2)由f(x)1,x0知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)0,解得xa.又当x(0,a)时,f(x)0;当x(a,)时,f(x)0,从而函数f(x)在xa处取得极小值,且极小值为f(a)aaln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在xa处取得极小值aaln a,无极大值角度二:已知极值求参数2(xx黑龙江哈三中期末)已知x2是函数f(x)x33ax2 的极小值点,那么函数f(x)的极大值为_解析:x2是函数f(x)x33ax2的极小值点,即x2是f(x)3x23a0的根,将x2代入得a4,所以函数解析式为f(x)x312x2,则由3x2120,得x2,故函数在(2,2)上是减函数,在(,2),(2,)上是增函数,由此可知当x2时函数f(x)取得极大值f(2)18.答案:183若函数f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在极值,则实数a的取值范围是_解析:由题意知,f(x)ax22ax2a3,因为函数f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在极值,所以f(x)0有两个不等实根,其判别式4a24a(2a3)0,所以0a3,故实数a的取值范围为(0,3)答案:(0,3)角度三:由图判断极值4已知函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)有_个极大值点,_个极小值点解析:由导数与函数极值的关系,知当f(x0)0时,若在x0的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x)在xx0处取得极大值;若在x0的左侧f(x)0,则f(x)在xx0处取得极小值设函数f(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在xx1,xx3处取得极大值,在xx2,xx4处取得极小值答案:22方法归纳利用导数研究函数极值的一般流程典例引领已知函数f(x)ex(a0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在1,2上的最大值解:(1)f(x)ex(a0),则f(x)ex.令ex0,则xln .当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xlnf(x)0f(x)极大值故函数f(x)的单调递增区间为;单调递减区间为.(2)当ln2,即0a时,f(x)maxf(2)e2;当1ln 2,即a时,f(x)maxfln;当ln1,即a时,f(x)maxf(1)e.由题悟法求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值即时应用设函数f(x)aln xbx2(x0),若函数f(x)在x1处与直线y相切,(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在上的最大值解:(1)f(x)2bx,函数f(x)在x1处与直线y相切,解得(2)由(1)得f(x)ln xx2,则f(x)x,当xe时,令f(x)0得x1;令f(x)0,得1xe,f(x)在上单调递增,在上单调递减,f(x)maxf(1).典例引领已知函数f(x)ax3ln x,其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围解:(1)f(x)a,fa1,故f(x)x3ln x,则f(x).由f(x)0得x1或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2从而在上,f(x)有最小值,且最小值为f(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0),由题设可得方程ax23x20有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)ax23x2,则,解得0a.故所求a的取值范围为.由题悟法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值即时应用已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线为l:3xy10,若x时,yf(x)有极值(1)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解:(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.当x1时,切线l的斜率为3,可得2ab0,当x时,yf(x)有极值,则f0,可得4a3b40,由,解得a2,b4.由于切点的横坐标为1,所以f(1)4.所以1abc4,得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,解得x12,x2.当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示:x3(3,2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13,最小值为.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1函数f(x)ln xx在(0,e上的最大值为_解析:f(x)1(x0),令f(x)0,得0x1,令f(x)1,f(x)在(0,1上是增函数,在(1,e上是减函数当x1时,f(x)在(0,e上取得最大值f(1)1.答案:12函数f(x)ex(sin xcos x)的值域为_解析:x,f(x)excos x0,f(0)f(x)f,即f(x)e.答案:3当函数yx2x取极小值时,x_.解析:令y2xx2xln 20,x.答案:4若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为_解析:若函数f(x)x32cx2x有极值点,则f(x)3x24cx10有根,故(4c)2120,从而c或c.故实数c的取值范围为.答案:5已知函数f(x)2f(1)ln xx,则f(x)的极大值为_解析:因为f(x)1,令x1,得f(1)1.所以f(x)2ln xx,f(x)1.当0x0;当x2,f(x)0.从而f(x)的极大值为f(2)2ln 22.答案:2ln 22二保高考,全练题型做到高考达标1函数f(x)x2ln x的最小值为_解析:f(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值,且f(1)ln 1.答案:2若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值和最小值分别为M,N,则MN的值为_解析:f(x)3x23,令f(x)0,得x1(x1舍去)f(0)a,f(1)2a,f(3)18a.M18a,N2a.MN20.答案:203(xx南京外国语学校)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示,则xx等于_解析:由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1bc0,84b2c0,解得b3,c2,所以f(x)x33x22x,所以f(x)3x26x2.x1,x2是方程f(x)3x26x20的两根,因此x1x22,x1x2,所以xx(x1x2)22x1x24.答案:4函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_解析:令f(x)3x23a0,得x,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)答案:(1,1)5若函数f(x)x3x2在区间(a,a5)上存在最小值,则实数a的取值范围是_解析:由题意,f(x)x22xx(x2),故f(x)在(,2),(0,)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,令x3x2得,x0或x3,则结合图象可知,解得a3,0)答案:3,0)6函数f(x)x3x23x4在0,2上的最小值是_解析:f(x)x22x3,令f(x)0得x1(x3舍去),又f(0)4,f(1),f(2),故f(x)在0,2上的最小值是f(1).答案:7(xx苏州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1 时有极值0,则ab_
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