2019-2020年高中数学 求数列通项公式的求法教案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 求数列通项公式的求法教案 新人教A版必修5 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、观察法范例：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式 3，33，333， 解： 观察各项的符号是“+”“-”号相间，用表示各项符号。点评：这类问题主要是观察数列中的与项数n的关系，发现规律，写出通项。二、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目范例等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写二、利用和的关系求的通项公式要点：已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。当n =1时，=s1成立，则两式合一范例已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。范例 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以由，类型2 （1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。范例. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，变式：已知， ，求。解： 。类型3 递推式：1、当 a=p a+q（p1，pq0）解法：可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。范例1：数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，数列 a2是以为公比，1为首项的等比数列a2=（） a=2（）说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列 a2，从而达到解决问题的目的。范例2：数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型2、当为n的一次式时，可转化为特殊数列a+An+B的形式求解范例设数列：，求.解: 设整理得2A=2且-3A+2B=-1,得A=1，B=1设则,又，故代入（）得本题也可由 ,（）两式相减得转化为进而求出 说明：若为的二次式，则可设利用代定系数法进而求解3、 当时，则递推公式为（其中p，q均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：从而化归为（p、q为常数）型范例1：已知数列满足， ，求解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列因,范例2：已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型4 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。范例1：已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。范例2 数列中，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有是以为公比，以为首项的等比数列由逐差法可得=类型5 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。范例. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得：， *四、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.范例已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。范例：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。范例1：数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得，。 范例2、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有即