2019-2020年高中数学选修2-1双曲线的几何性质（1）.doc

2019-2020年高中数学选修2-1双曲线的几何性质（1）教学目标（1）了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等；（2）能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题；（3）能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程；（4）掌握之间的关系及相应的几何意义教学重点，难点双曲线的几个简单几何性质教学过程一问题情境1情境：在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质2问题：双曲线有哪些性质？三建构数学1范围由双曲线方程，可得，即或这表明双曲线在不等式与所表示的平面区域内思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？由双曲线方程可知，即，从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线和为边界的平面区域内2对称性在双曲线的标准方程中，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的所以坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心3顶点双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点记则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长4渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么，从的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系？根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系如图，设为双曲线在第一象限的点，作轴，垂足为直线交直线于点当向右移动时，观察长度的变化我们发现，随着的增大，长度越来越接近于事实上，对于相同的横坐标，直线上对应的点的纵坐标为，所以长为=，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，趋向于这说明，随着的增大，双曲线在第一象限内的点在直线的下方且逐渐接近于这条直线同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线的上方且逐渐接近于这条直线根据对称性，直线也有相同的性质我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线说明：（1）利用直线和所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出双曲线的草图（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线5离心率：实轴长与焦距的比叫做双曲线的离心率，记为由可得四数学运用1例题：例1求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程 解 由题意知，所以，解得因此，双曲线的实轴长，虚轴长焦点坐标为，顶点坐标为，离心率渐近线方程为例2已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求双曲线的方程 解 根据题意知，解得则因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，所以所求双曲线方程为ABF例3如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，求该双曲线的方程解 因为，所以因为，所以，所求双曲线方程为五回顾小结：1根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问题；2根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程3之间的关系及相应的几何意义