2019年高考数学二轮复习 专题四 立体几何限时检测（文、理）.doc

2019年高考数学二轮复习 专题四 立体几何限时检测（文、理）一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(xx福建省质检)如图，AB是O的直径，VA垂直O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依题意，MNAC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到ACBC，因此MN与BC所成的角是90；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC.综上所述可知选D.2(xx菱湖月考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是()A.cm3 B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三视图知，该几何体是由一个正方体割去一个角所得到的多面体，如图，其正方体的棱长为1，则该多面体的体积为1313cm3.3(文)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三视图知几何体为三棱锥，底面等腰三角形底边长2，高为2，棱锥高为2，V(22)2cm3.(理)正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于()A60B90C30D随点E的位置而变化答案B解析A1DAB，A1DAD1，A1D平面AD1C1B，A1DC1E.4(文)(xx河北名校名师俱乐部模拟)一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位：cm)，该组合体的体积为()A42cm3B48cm3C56cm3D44cm3答案D解析由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个直三棱柱组合而成，直三棱柱的底面是等腰三角形，三角形的底边长为4，高为5，棱柱的高为2，其体积V14645244(cm3)(理)(xx郑州市质检)如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误，故选B.5(文)(xx济南四校联考)已知m、n是两条不同直线，、为两个不同平面，那么使m成立的一个充分条件是()Am，Bm，Cmn，n，mDm上有不同的两个点到的距离相等答案C解析对于A，直线m可能位于平面内；对于B，直线m可能位于平面内；对于D，当直线m与平面相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面的距离相等故选C.(理)过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30B45C60D90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.6如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案D解析D、F分别为AB、AC的中点，BCDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A正确；在正四面体中，E为BC中点，易知BCPE，BCAE，BC平面PAE，DFBC，DF平面PAE，故B正确；DF平面PAE，DF平面PDF，平面PDF平面PAE，C正确，故选D.7(文)如图，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()A是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量且有最大值和最小值D是常量答案D解析因为EF2，点Q到AB的距离为定值，所以QEF的面积为定值，设为S，又因为D1C1AB，所以D1C1平面QEF；点P到平面QEF的距离也为定值，设为d，从而四面体PQEF的体积为定值Sd.(理)一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,2,0)、(0,2,2)、(3,0,1)，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为()A3B.C2D.答案A解析四个点在yOz平面上的正投影依次为(0,0,0)，(0,2,0)，(0,2,2)，(0,0,1)，故其面积S(12)23.8(文)已知、是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把、中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A0个B1个C2个D3个答案C解析若、换成直线a、b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若、换为直线a、b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若、换为直线a、b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题，故选C.(理)如图，在ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BDBC；类似地有命题：在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有SSBCMSBCD.上述命题是()A真命题B增加条件“ABAC”才是真命题C增加条件“M为BCD的垂心”才是真命题D增加条件“三棱锥ABCD是正三棱锥”才是真命题答案A解析因为AD平面ABC，所以ADAE，ADBC，在ADE中，AE2MEDE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM平面BCD，AMBC，所以BC平面ADE，所以BCDE，将SABC、SBCM、SBCD分别表示出来，可得SSBCMSBCD，故选A.二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上)9(文)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与平面BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)答案解析由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错，故填.(理)如图，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将直角ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；VBACE的体积是a3；ABCD；平面EAB平面ADE；直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.其中正确的叙述有_(写出所有正确结论的编号)答案解析由题意可得如图所示的几何体，对于，AB与DE所成角为ABC，在ABC中，ACB90，ACa，BCa，所以tanABC，故正确；对于，VBACEVAECBaaaa3，故正确；明显错误；对于，因为AD平面BCDE，所以ADBE，又因为DEBE，所以BE平面ADE，可得平面EAB平面ADE，故正确；对于，由可知，BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在ABE中，AEB90，ABa，BEa，所以sinBAE，故正确10(xx邯郸一模)已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2沿AC折成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积_答案解析在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，AB2，AD1，CD1，AC，BC，BCAC，取AC的中点E，AB中点O，当三棱锥体积最大时，平面DCA平面ACB，OAOBOCOD，OB1，VR3.三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11(本小题满分13分)(文)如图，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，沿对角线BD把ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上(1)求证：BCA1D；(2)求证：平面A1BC平面A1BD；(3)求三棱锥A1BCD的体积解析(1)A1在平面BCD上的射影O在CD上，A1O平面BCD，又BC平面BCD，BCA1O.又BCCO，COA1OO，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，BCA1D.(2)四边形ABCD为矩形，A1DA1B，由(1)知BCA1D.又BCA1BB，BC平面A1BC，A1B平面A1BC，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD.(3)A1D平面A1BC，A1DA1C.CD10，A1D6，A1C8，VA1BCDVDA1BC68648.(理)(xx大兴区模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，D是BC的中点(1)求证：直线A1DB1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1BC，在等边ABC中，D是BC中点，所以ADBC，因为在平面A1AD中，A1AADA，所以BC平面A1AD，又因为A1D平面A1AD，所以A1DBC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1BC，所以，A1DB1C1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中连接A1C，交AC1于点O，连接DO.故O为A1C的中点在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，故DOA1B.因为DO平面ADC1，A1B平面ADC1，所以，A1B平面ADC1，故A1B与平面ADC1平行12(本小题满分13分)(文)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行？证明你的结论解析(1)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45，BC，BCAC，又BB1BCB，BB1、BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C；(2)存在符合条件的点P，且P为A1B1的中点证明：P为A1B1的中点，所以PB1AB，且PB1AB，又DCAB，DCAB，DCPB1，且DCPB1.四边形CDPB1为平行四边形，从而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP平面ACB1.DP平面ACB1，同理DP平面BCB1.点评(2)问中假如存在点P，使得DP平面BCB1，DP平面ACB1，又平面BCB1平面ACB1CB1，DPCB1，又CDPB1，故四边形CDPB1为平行四边形，A1B12CD，故只须P为A1B1的中点，即有PB1綊DC，而获解对于存在性命题，常常是先假设存在，把其作为一个条件与其他已知条件结合加以分析，探寻解题的思路(理)(xx哈三中一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角MBQC大小为60，并求出的值解析(1)PAPD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD60，BQAD，又PQBQQ，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD；(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD, PQ平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图则Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(2，0)，设(0BCD答案B解析如图，设底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知ABO，取BC的中点E，连接AE、OE，易知AEO，在正三角形BCD中，OBOE，因此0.8(文)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为()A.aB.aC.aD.a答案A解析设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DMA1Ma，A1Da，SA1DMaa2，连接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa，即a2ha2a，得ha，所以点C到平面A1DM的距离为a，选A.(理)已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如右图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点，M、N分别为线段DC、BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积yf(x)的函数图象大致是()答案B解析由条件知，AC4，BO2，SAMCCMADx，NO2x，VNAMCSAMCNOx(2x)，即f(x)x(2x)，故选B.二、填空题9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为_答案1解析依题意得三棱锥PABC的主视图与左视图均为三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥PABC的主视图与左视图的面积之比等于1.10(文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案30解析本题考查三视图及柱体体积公式由三视图知该几何体由一个棱长为3,4,2的长方体和一个底面是直角梯形高为4的直棱柱组成，则体积V3421430.点评解决三视图问题应弄清图中各量与原几何体的量的关系(理)设C是AOB所在平面外的一点，若AOBBOCAOC，其中是锐角，而OC和平面AOB所成角的余弦值等于，则的值为_答案60解析作CC1平面AOB于点C1，C1A1OA于点A1，C1B1OB于点B1，连接OC1，则COC1为直线OC与平面AOB所成的角，且OC1是AOB的平分线，设OA1x，则OC，OC1，易求得cosCOC1，即2cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30，所以60.三、解答题11(文)(xx威海两校质检)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA2，E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证PC平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论解析(1)PA平面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPA122.即四棱锥PABCD的体积为.(2)连接AC交BD于O，连接OE.四边形ABCD是正方形，O是AC的中点又E是PA的中点，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(3)不论点E在何位置，都有BDCE.证明如下：四边形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA.又ACPAA，BD平面PAC.不论点E在何位置，都有CE平面PAC.不论点E在何位置，都有BDCE.(理)(xx成都一诊)如图，PO平面ABCD，点O在AB上，EAPO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD.(1)求证：PE平面PBC；(2)直线PE上是否存在点M，使DM平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由(3)求二面角EBDA的余弦值解析(1)证明：EAOP，AO平面ABP，点A，B，P，E共面PO平面ABCD，PO平面PEAB.平面PEAB平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面PEAB平面ABCDAB，BC平面PEAB，PEBC.由平面几何知识知PEPB，又BCPBB，PE平面PBC.(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合取PB的中点F，连接EF、CF、DE，延长PE交BA的延长线于H，则E为PH的中点，O为BH的中点，EF綊OB，又OB綊CD，EFCD，且EFDC，四边形DCFE为平行四边形，所以DECF.CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内，DE平面PBC.(3)由已知可知四边形BCDO是正方形，显然OD、OB、OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设DC1，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0，)，设平面BDE的一个法向量为n1(x，y，z)，(1，1,0)，(0，)，即取y1，则x1，z3，从而n1(1,1,3)取平面ABD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2，故二面角EBDA的余弦值为.12(文)已知四棱锥PABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点(1)求三棱锥CPBD的体积；(2)若F是BC上任一点，求证：AEPF；(3)边PC上是否存在一点M，使DM平面EAC，并说明理由解析(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA平面ABCD，且PA2，VCPBDVPBCD122.(2)证明：BCAB，BCPA，ABPAA.BC平面PAB，BCAE，又在PAB中，PAAB，E是PB的中点，AEPB.又BCPBB，AE平面PBC，且PF平面PBC，AEPF.(3)存在点M，可以使DM平面EAC.连接BD，设ACBDO，连接EO.在PBD中，EO是中位线PDEO，又EO平面EAC，PD平面EAC，PD平面EAC，当点M与点P重合时，可以使DM平面EAC.(理)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将BEF剪去，将AED、DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，得一三棱锥如图所示(1)求证：PDEF；(2)求三棱锥PDEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值解析(1)依题意知图折前ADAE，CDCF，折起后PDPE，PFPD，PEPFP，PD平面PEF.又EF平面PEF，PDEF.(2)依题意知图中AECF，PEPF，在BEF中EFBE，在PEF中，PE2PF2EF2，PEPF，SPEFPEPF，VPDEFVDPEFSPEFPD1.(3)由(2)知PEPF，又PEPD，PE平面PDF，PDE为DE与平面PDF所成的角在RtPDE中，DE，PE，sinPDE.13(文)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求证：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一点E，使得BA1E45，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由分析(1)连接AB1，交A1B于M，则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线；(2)需在平面ABB1A1中找两条相交直线都与B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1B1C1，另一条的寻找，从AC1平面A1BD，以平行四边形ABB1A1为正方形入手，证明A1B平面AB1C1从而得出A1BB1C1.(3)用余弦定理解A1BE.解析(1)连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点连接MD，又D为AC的中点，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，平行四边形ABB1A1为正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)设ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1B1a，C1Eax，A1E，BE，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中点，D、E分别为AC、C1C的中点，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD.又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.点评空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为线线垂直线面垂直面面垂直(理)(xx齐鲁名校联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中点(1)求证：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)试问线段A1B1上是否存在点E，使得AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由解析(1)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC中点，所以OD为A1BC中位线，所以A1BOD，所以OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，故BA、BC、BB1两两垂直如图建立空间直角坐标系Bxyz.设BA2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)所以(1，2,0)，(2，2,1)设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的法向量为v(0,0,1)由二面角C1ADC的平面角是锐角，得cosn，v.所以二面角C1ADC的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因为AE与DC1成60角，所以.即，解得1，舍去3.所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60角