2019-2020年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大版选修2-1.doc

2019-2020年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大版选修2-1 已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面1，2的法向量分别为n1，n2.问题1：若直线l1l2，直线l1垂直于平面1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1u2n1.问题2：若l1l2，l12呢？提示：u1u2，u1n2.问题3：若12，则n1，n2有什么关系？提示：n1n2.1空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2，则线线平行lmakb(kR)线面平行l1an1an10 面面平行12n1n2n1kn2(kR)线线垂直lmab0线面垂直l1an1akn1(kR)面面垂直12n1n2 n1n202.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直3面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系这是向量法证明垂直、平行关系的关键第一课时空间向量与平行关系 由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系例1(1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)；a(2,1,4)，b(6,3,3)(2)设n1，n2分别是两个不同平面1，2的法向量，根据下列条件判断1，2的位置关系：n1(1，1,2)，n2(3,2，)；n1(0,3,0)，n2(0，5,0)；n1(2，3,4)，n2(4，2,1)(3)设n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断和l的位置关系：n(2,2，1)，a(3,4,2)；n(0,2，3)，a(0，8,12)；n(4,1,5)，a(2，1,0)思路点拨本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系精解详析(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab.ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0.ab.l1l2.a(2,1,4)，b(6,3,3)，a与b不共线，也不垂直l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)(2)n1(1，1,2)，n2，n1n23210.n1n2，12.n1(0,3,0)，n2(0，5,0)，n1n2，n1n2.12.n1(2，3,4)，n2(4，2,1)，n1与n2既不共线，也不垂直平面1和2相交(不垂直)(3)n(2,2，1)，a(3,4,2)，na6820.na.直线l和平面的位置关系是l或l.n(0,2，3)，a(0，8,12)，na.na.l.n(4,1,5)，a(2，1,0)，n和a既不共线，也不垂直l与斜交一点通用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlCl Dl或l解析：当ab0时，l或l.答案：D2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中an0.答案：D3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EFHG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)(0,1，1)，(0,1，1).又GEF，EFGH.用空间向量证明线面平行问题例2如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OAOP，OP平面ABC.求证：OD平面PAB.思路点拨思路：一证明与平面PAB的法向量垂直思路二：证明OD与面PAB内某一直线平行精解详析法一：因为ABBC，O为AC的中点，所以OBAC，OAOBOC，如图，建立空间直角坐标系，设OAa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a，0,0)，P(0,0，a)，D，所以.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)则由于(a,0，a)，(a，a,0)，所以令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以n0，所以n，因为OD不在平面PAB内，所以OD平面PAB.法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以，所以，即ODAP，OD平面PAB，PA面PAB，所以OD平面PAB.一点通用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MN平面RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.，.MRS.MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.法二：设a，b，c，则cab，bac，又RMN，MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，(1,0,1)，(1,1,0)，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.MN 平面A1BD.法二：C1M()，.又DA1平面A1BD，MN平面A1BD.用空间向量证明面面平行例3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD.思路点拨本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行精解详析法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,0)，(1,1,4)，(1,1,4)可见，MNEF，AGQK.又MN平面EFBD，AG平面EFBD.MN平面EFBD，AG平面EFBD.又MNAGG，平面AMN平面EFBD.法二：由法一得(2,0,4)，(2,2,0)，(0,2,4)，(2,2,0)设平面AMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即即令x11，则n1.设平面BDEF的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即即令x21，则n2(1，1，)n1n2.平面AMN平面BDEF.一点通用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行6.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：平面EGF平面ABD.证明：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)，设BAa，则A(a,0,0)，G.所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，(0,1,1)法一：0，0440，所以B1DBA，B1DBD.因BABDB，因此B1D平面ABD.又0220，0220.所以B1DEG，B1DEF，又EGEFE，所以B1D平面EFG，可知平面EGF平面ABD.法二：设平面EGF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y1，则n1(0,1，1)设平面ABD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令y1，则n2(0,1，1)所以n1n2.所以平面EGF平面ABD.7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.1平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量2用空间向量处理平行问题的常用方法：(1)线线平行转化为直线的方向向量平行(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直(3)面面平行转化为平面法向量的平行 1已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：l1l2，设ab，(2,4,5)(3，x，y)，x6，y.答案：D2已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m()A8 B5C5 D8解析：l，直线l的方向向量与平面的法向量垂直220，m8.答案：A3若两个不同平面1，2的法向量分别为n1(1,2，2)，n2(3，6,6)，则()A12 B12C1，2相交但不垂直 D以上均不正确解析：n1n2，n1n2，12.答案：A4已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()A B6C6 D.解析：，的法向量与的法向量也互相平行，6.答案：B5已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1(1，3，2)，v2(3,9,6)，则l1与l2的位置关系是_解析：v23v1，l1l2或l1与l2重合答案：平行或重合6若平面1的一个法向量为n1(3，y,2)，平面2的一个法向量为n2(6，2，z)，且12，则yz_.解析：12，n1n2.y1，z4.yz3.答案：37.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明：作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0，n.又MN平面OCD，MN平面OCD.8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0t1)满足条件，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.第二课时空间向量与垂直关系 用空间向量证明线线垂直例1直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中点，在DD1上存在一点N，使MNDC1，试确定N点位置思路点拨本题中DA，DC，DD1两两垂直，故可以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系可设出点N坐标后利用方程0，进行求解精解详析建立空间直角坐标系，如图则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，(0,2,3)设点N(0,0，h)，则.MNDC1，则(0,2,3)43h0.h，则N.故N点在DD1上且|DN|时，有MNDC1.一点通用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即ab0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明1如图，已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM.求证：ADBM.证明：因为平面ADM平面ABCM，AB2，AD1，M为DC的中点，ADDM，取AM的中点O，连接OD，则DO平面ABCM，取AB的中点N，连接ON，则ONAM，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据已知条件，得A，B，M，D，则，(0，0)，所以0，故ADBM.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AB，BC1，BB1，M为CC1中点，求证：AMBA1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0，0)，B1(0,0，)，A1(0，)，C1(1，0，)M为CC1的中点，M.，(0，)1030.，即AMBA1.用空间向量证明线面垂直例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.思路点拨欲证B1O平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可精解详析如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)于是(1,1,2)，(2,2,0)，(2,0,1)由于220，220.所以OB1AC，OB1AP.又AC面PAC，AP面PAC，且ACAPA，所以OB1平面PAC.一点通用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC.证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，E，F，则(0,1,1)，(1,1,0)，.法一：令平面B1AC的法向量为n(x，y，z)，则得：令y1得n(1,1，1)22，n，EF平面B1AC.法二：，(0，1，1)，(1,0，1)，又0，0，EFB1A，EFB1C又B1CB1AB1，EF平面B1AC.4如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点求证：AB1平面A1BD.证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2,1,0)，BA1(1,2，)2200，1430，.即AB1BD，AB1BA1.又BDBA1B，AB1平面A1BD.用空间向量证明面面垂直例3在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点求证：平面BEF平面ABC.思路点拨本题可建立空间坐标系后，证明面BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直精解详析建立空间直角坐标系如图，设ABa，则BDa，于是A(0,0，a)，B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，法一：可得，(0,0，a)，0，0.即EFAB，EFBC.又ABBCB，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面ABC平面BEF.法二：BCD90，CDBC.又AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.为平面ABC的一个法向量设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，n0，即(x，y，z)0.xy.由n 0，即(x，y，z)0，有ayz0，zy.取y1，得n(1,1，)n(1,1，)0，n.平面BEF平面ABC.一点通用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直5已知：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点求证：平面DEA平面A1FD1.证明：建立空间直角坐标系如图令DD12，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2，0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1，n1.令y11，得n1(0，1,2)同理可得n2(0,2,1)n1n2(0，1,2)(0,2,1)0，知n1n2.平面DEA平面A1FD1.6.如图，ABCA1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点求证：平面AB1D平面ABB1A1.证明：法一：取AB1的中点M，则.又因为，两式相加，得2，由于2()0，2()()|2|20，所以DMAA1，DMAB，又AA1ABA，所以DM平面ABB1A1，而DM平面AB1D.所以平面AB1D平面ABB1A1.法二：如图建立空间直角坐标系，取AB的中点E，连接CE，由题意知CE平面ABB1A1.由图知，C(0，a,0)，E，B1(0,0，a)，D，A，.设平面AB1D的法向量n(x，y，z)，则即令y1，则n(，1,2)又naa0，n.平面AB1D平面ABB1A1.垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单 1若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则()Al1l2Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D不确定解析：直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，ab(1,2，2)(2,3,2)1(2)23(2)20.ab，l1l2.答案：B2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(3,0，6)，则()AlBlCl Dl与斜交解析：an，an，l.答案：B3如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD等于()A12 B11C31 D21解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，.BFPE，0，解得y，则F点坐标为，F为AD中点，AFFD11.答案：B4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则向量()A. B.C. D.解析：352z0，故z4，由x15y60，且BP3(x1)y120，得x，y.答案：A5已知a(1,2,3)，b(1,0,1)，ca2b，dmab，若cd，则m_.解析：ca2b，c(1,2,3)2(1,0,1)(1,2,1)，dmab，dm(1,2,3)(1,0,1)(m1,2m,3m1)又cd，cd0，即(1,2,1)(m1,2m,3m1)0，即1m4m3m10，m0.答案：06在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或7.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：PB平面EFD.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心故点G的坐标为，且，.2，则PAEG.又EG 平面EDB且PA平面EDB.PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，(a，a，a)，故00.PBDE，又EFPB，且EFDEE，PB平面EFD.8.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC.A1A，ABAC2A1C12，D为BC中点求证：平面A1AD平面BCC1B1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，D为BC的中点，D点坐标为(1,1,0)(0,0，)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)设平面A1AD的法向量n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11，则x11，z10，n1(1，1,0)由得令y21，则x21，z2，n2.n1n21100，n1n2.平面A1AD平面BCC1B1.