2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末复习课教学案北师大版选修4.doc

2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末复习课教学案北师大版选修4绝对值不等式的解法解法一：利用分类讨论的思想方法当x1时，x1x2，解得x1；当1x0时，x1x2，解得1x0；当x0时，x1x2，解得0x.因此，原不等式的解集为.法二：利用方程和函数的思想方法令f(x)|x1|x|2作函数f(x)的图像(如图)，知当f(x)0时，x.故原不等式的解集为.法三：利用数形结合的思想方法由绝对值的几何意义知，|x1|表示数轴上点P(x)到点A(1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为.法四：利用等价转化的思想方法原不等式0|x1|2|x|，(x1)2(2|x|)2，且|x|2，即04|x|32x，且|x|2.16x2(32x)2，且2x2.解得x1的解集为R，求a的取值范围解设f(x)x|x2a|，则函数f(x)在R上恒大于1，又f(x)x2a时，f(x)f(2a)2a.函数f(x)在R上的最小值为2a.要使f(x)在R上恒大于1，只要2a1，a.平均值不等式的应用利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为近几年新课标教改区高考的热点，常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：x，y为正数；“和”或“积”为定值；等号一定能取到这三个条件缺一不可例3当0x0，tanx0.故f(x)cotx4tanx24.答案C例4为了提高产品的年产量，某企业拟在xx年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m0)满足x3(k为常数)如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知xx年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将xx年该产品的利润y万元(利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业xx年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意可知，当m0时，x1(万件)，13k.k2，x3.每件产品的销售价格为1.5(元)，xx年的利润yx(816x)m29(m0)(2)m0，(m1)28，y29821.当m1，即m3，ymax21.该企业xx年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大不等式的证明证明不等式是近几年新课标教改区高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：1比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例5若x，y，zR，a0，b0，c0，求证：x2y2z22(xyyzzx)证明x2y2z22(xyyzzx)2220，x2y2z22(xyyzzx)成立2综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例6设a0，b0，ab1.求证：(1)8；(2)22.证明(1)a0，b0，ab1.1ab2，4.(ab)2248.8.(2) ，则2.2222.22.3分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例7已知a0，b0，且ab1，求证： 2.证明要证 2，只要证24，即证ab12 4.只要证：1.也就是要证：ab(ab)1，即证ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab成立故 2.4反证法和放缩法证明不等式(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的例8已知0a1,0b1,0c1.求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a至少有一个小于等于.证明假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于，0a1,0b1,0c.同理，.，此为矛盾所以假设不成立，(1a)b，(1b)c，(1c)a至少有一个小于等于.例9设an(n1，2,3，)证明：an.证明对于一切正整数k都有k.令k1,2，n，有1，2，n.以上各式相加得12n，整理即得an.故原不等式对于nN都成立对应学生用书P31一、选择题1已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1解析：x，x2.f(x)(x2)2 1，当且仅当，即x3时，等号成立f(x)min1.答案：D2已知a0，b B.aC.a D.a解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较，1的大小，再比较，a的大小又因为a0，所以又可认为是在比较，1的大小因为b.也可以令a1，b2，分别代入A，B，C，D中，知A，B，D均错答案：C3已知a，b，cR，且abc1，则与9的大小关系是()A.9 B.9C.9 D不确定解析：332229.当且仅当abc时取等号. 答案：A4已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4C6 D8解析：(xy)1a1a2(1)2(当且仅当时，取等号)(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只需(1)29.a4.答案：B二、填空题5A1与(nN)的大小关系是_解析：A .答案：A6(陕西高考)设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_解析：|xa|xb|ab|2，|xa|xb|2恒成立，则解集为R.答案：(，)7不等式|x1|x3|6的解集是_解析：|x1|x3|当x3时，2x26x4；当x1时，2x26x2；当3x0, 则的最小值为_解析：因为211，当且仅当，a0，xn1，nN.(1)证明：对n2总有xn；(2)证明：对n2总有xnxn1.证明：(1)由x1a0，及xn1可以归纳证明xn0，从而有xn1(nN)，所以当n2时，xn成立(2)当n2时，因为xn0，xn1，所以xn1xnxn0.故当n2时，xnxn1成立10已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xb1，P，Q(lgalgb)，Rlg，则()ARPQBPQRCQPR DPRb1lg a0，lg b0，Q(lg alg b)P，Rlg(lg alg b)QRQP.答案：B3不等式的解集是()A(0,2) B(0,2.5)C(0，) D(0,3)解析：用筛选法，容易验证x2是不等式的解，否定A；x不是不等式的解，否定D；x使与取“”，故否定B.答案：C4(江西高考)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2C3 D4解析：|x1|x|y1|y1|x1x|y1(y1)|123.答案：C5若a0，b0，则p(ab)，qabba的大小关系是()Apq BpqCpq Dp0，b0，即ab.当ab时，01，0.pq.同理aq，综上可知pq.答案：A6若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少有一个值c，使f(c)0，则实数p的取值范围是()A. B.C(1,0) D.解析：如果在1,1内没有满足f(c)0的数c，则解得此时p的取值范围是，取补集即得所求实数p的范围，即.答案：A7若不等式|ax2|6的解集为(1,2)，则实数a()A8 B2C4 D8解析：由|ax2|68ax4.当a0时，x.解集是(1,2)，解得两值矛盾当a0时，x.由a4.答案：C8已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是()A3 B4C5 D6解析：由题意，知ab1，则ab115.当且仅当ab时，取等号答案：C9设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A|ab|ac|bc|Ba2aC|ab|2D.解析：因为|ab|(ac)(bc)|ac|bc|，所以选项A恒成立；在选项B两侧同时乘以a2，得a41a3a(a4a3)(1a)0a3(a1)(a1)0(a1)2(a2a1)0，所以选项B恒成立；在选项C中，当ab时，恒成立，ab时，不成立；在选项D中，分子有理化得恒成立答案：C10设x，yR，a1，b1，若axby2，a4，则的最大值为()A4 B3C2 D1解析：依题意得4a2，则a4，a2b16，当且仅当ba24时，等号可以取到因为xloga2，ylogb2，所以2log2alog2blog2a2blog2164，即的最大值为4.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是_解析：用分析法比较，ab8282，同理可比较得bc.答案：abc12(上海高考)设常数a0.若9xa1对一切正实数x成立，则a的取值范围为_解析：由题意可知，当x0时，f(x)9x26aa1a，当且仅当9x，即x时等号成立答案：13不等式|2|x|3|x|1的解集为_解析：原不等式等价于(2|x|3)2(|x|1)2，所以4x212|x|9x22|x|1，所以3x214|x|80.所以3|x|214|x|80.所以(3|x|2)(|x|4)0.所以|x|4.所以4x，或x4.所以原不等式的解集为.答案：14a0，b0，给出下列四个不等式：ab2；(ab)4；ab；a2.其中正确的不等式有_(只填序号)解析：a0，b0，ab222；(ab)4 4； ，a2b2(ab)(ab).ab.a(a4)424242，当且仅当a4，即(a4)21时等号成立，而a0，(a4)21.等号不能取得答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)(新课标全国卷)设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.当且仅当“a，即a1时”取等号所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得1，求函数y的最小值解：x1，x10，y(x1)52 59.当且仅当x1，即x1时，等号成立y的最小值是9.17(本小题满分12分)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)法一：记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范围是k1.法二：21，由|f(x)2f()|k恒成立，可知k1，所以k的取值范围是k1.18(本小题满分14分)(北京高考)给定数列a1，a2，an.对i1,2，n1，该数列前i项的最大值记为Ai，后ni项ai1，ai2，an的最小值记为Bi，diAiBi.(1)设数列an为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，an(n4)是公比大于1的等比数列，且a10.证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10，证明a1，a2，an1是等差数列解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1,2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1,2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列(3)证明：设d为d1，d2，dn1的公差对1in2，因为BiBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi，ai1，所以ai1Ai1Aiai.从而a1，a2，an1是递增数列因此Aiai(i1,2，n1)又因为B1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1,2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差数列