2019-2020年高三数学一轮复习讲义 等比数列及其前n项和 新人教A版.doc

2019-2020年高三数学一轮复习讲义 等比数列及其前n项和 新人教A版要点自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比q 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_.a1qn13.等比中项3等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 G2ab (ab0)4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_，(n，mN*). qnm(2)若an为等比数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则_ akalaman _.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列.(4)单调性：或an是_数列；递增或an是_数列；递减q1an是_常_数列；q0，则lg an构成等差数列 8思想与方法：(1)等比数列的判定方法：定义：q (q是不为零的常数，nN*)an是等比数列. 等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列.通项公式：ancqn1 (c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列. (2) 等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种方法在数列求和中的运用.(3)在利用等比数列前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q1和q1两种情况；计算等比数列前n项和过程中要注意整体代入的思想方法常把qn，当成整体求解(4) 等比数列的通项公式ana1qn1及前n项和公式Sn (q1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用.(5)揭示等比数列的特征及基本量之间的关系. 利用函数、方程的观点和方法，讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小.基础自测1“b”是“a、b、c成等比数列”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2若数列an的前n项和Sn3na，数列an为等比数列，则实数a的值是 ()A3B1C0D13已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则an等于 ()A8nB8n C8n1D8n14.在等比数列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5的值为_.55.在等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8_240_.6.在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663，则公比q的值是 ()A.2 B.2 C.3 D.3题型一等比数列的基本量的运算例1(1)在等比数列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8项和S8；(2)设等比数列an的公比为q (q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项.解(1)设数列an的公比为q，由通项公式ana1qn1及已知条件得：由得a1q38.将a1q38代入式，得q22，无解，故舍去.将a1q38代入式，得q24，q2.当q2时，a11，S8255；当q2时，a11，S885.(2)若q1，则na140,2na13 280，矛盾.q1，得：1qn82，qn81， 将代入得q12a1.又q0，q1，a10，an为递增数列.ana1qn127，由、得q3，a11，n4.a2na81372 187.探究提高(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用.(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论.变式训练1 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，已知S41，S817，求an的通项公式.an2n1或an(2)n1(2)已知正项等比数列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn.本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得21616q2100.解得q24或q2.又数列an为正项数列，q2或.当q2时，可得a1，an2n12n2， Sn2n1；当q时，可得a132.an32n126n. Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或当a38，a52时，q2.q0，q，由a3a1q28，得a132，an32n126n.Sn6426n.当a32，a58时，q24，且q0，q2.由a3a1q2，得a1.an2n12n2. Sn2n1.（3）在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q.解由题意得解得或若则Sn126，解得q，此时，an264n1，n6.若则Sn126，q2.an6422n1.n6.综上n6，q2或.题型二等比数列的性质及应用例2在等比数列an中， (1) 已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求a10；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值.解(1) a4a7a3a8512，解之得或.当时，q532，q2.a11，a10a1q91(2)9512.当时，q5，q.又q为整数，q舍去.综上所述：a10512.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.变式训练2 (1)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024. (2)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78. (3)在等比数列an中，a1a2a3a4a58，且2，求a3.解由已知得2，a4，a32.若a32，设数列的公比为q，则22q2q28，即1qq2224.此式显然不成立，经验证，a32符合题意，故a32.题型三等比数列的定义及判定例3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：q (q为与n值无关的常数)(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法 (1)证明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)解由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以an(3n1)2n2.变式训练3(1)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.设cnan1，求证：cn是等比数列； 求数列bn的通项公式. (1)证明anSnn， an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列.首项c1a11，又a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意 (2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并.(2)已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN*.证明数列an1是等比数列；求an的通项公式以及Sn. 证明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)，故总有an112(an1)，nN*，又a15，a110，从而2，即数列an1是首项为6，公比为2的等比数列解由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6. (3)设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)求a2，a3的值；求证：数列Sn2是等比数列解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列点评：. 由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(4)已知函数f(x)(x2，xR)，数列an满足a1t(t2，tR)，an1f(an)，(nN)若数列an是常数列，求t的值；当a12时，记bn(nN*)，证明：数列bn是等比数列，并求出通项公式an.解：数列an是常数列，an1ant，即t，解得t1，或t1.所求实数t的值是1或1.a12，bn，b13，bn13，即bn13bn(nN*)题型四等差、等比数列的综合应用例4已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d).解得d2 (d0).an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.(2)由an1得 当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2.cn2bn23n1 (n2).又当n1时，a2，c13.cn.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.探究提高在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式.本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差an1an时要注意n2.变式训练4 已知数列an满足a1，且an1an0 (nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若bnaa，试问数列bn中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列；若不存在，说明理由.解(1)由a1，an1an0知，当n为偶数时，an0.由，得3(aa)1a.即4a3a1，所以4(a1)3(a1)，即数列a1是以a1为首项，为公比的等比数列.所以a1n1n， a1n，故an(1)n1 (nN*).(2)由(1)知bnaa1n11nn，则对于任意的nN*，bnbn1.假设数列bn中存在三项br，bs，bt (rsbsbt，即只能有2bsbrbt成立，所以2srt，2srt，所以23s4ts3r4tr3t，因为rs0，tr0，所以23s4ts是偶数，3r4tr3t是奇数，而偶数与奇数不可能相等，因此数列bn中任意三项不可能构成等差数列.失误与防范1. 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情2. 在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度.形而导致解题失误.等比数列及其前n项和（1）一、选择题1.在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于 ()A.2n12 B.3nC.2n D.3n12.在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为 ()A.1 B. C.1或 D.1或3.若等比数列an满足anan116n，则公比为 ()A.2 B.4 C.8 D.164记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3B5C31D33因为等比数列an中有S32，S618，即1q39，故q2，从而1q512533.5在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5等于()A33B72C84D189C由题可设等比数列的公比为q，则211qq27q2q60(q3)(q2)0，根据题意可知q0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.二、填空题6.在等比数列an中，a11，公比q2，若an64，则n的值为_7_.7.在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，这个数列的通项公式是_. a n8.设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_2_.9设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_解析公比q416，且q0，q2，S7127.10在等比数列an中，公比q2，前99项的和S9930，则a3a6a9a99_.解析S9930，即a1(2991)30，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a9930.三、解答题11.已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn. (1)an2n2(2)Tn2n112.Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列an的前n项和公式；(3)求数列Sn的前n项和.解(1)根据已知条件整理得解得3S22S36，即(2)q1，则可解得q，a14.Snn.(3)由(2)得S1S2Snnn.13已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.解(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列，得，解得d1或d0(舍去)故an的通项an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比数列前n项和公式，得Sn222232n2n12.)14已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求an的通项公式.解 (1)证明b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1， bn是首项为1，公比为的等比数列.(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1，当n1时，111a1，ann1 (nN*).15. 设数列的前项和为，已知(nN*).（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意nN*且n 2，都有成立，求的最大值；解：（1）由，得(n2). 两式相减，得，即(n2). 于是，所以数列是公差为1的等差数列. 又，所以. 所以，故. （2）因为，则. 令，则 . 所以 .即，所以数列为递增数列. 所以当n 2时，的最小值为. 据题意，即.又为整数，故的最大值为18. 等比数列及其前n项和（2）一、选择题1.已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1等于 ()A. 16(14n) B. 16(12n) C. (14n) D.(12n)2已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B. 或 C. D 以上都不对解析设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdb，则abcd2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到：c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.3.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n) (nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是 ()A. B. C. D.4设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于 ()A.B.C.D.an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于 ()A11B8C5D11A由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则11.6等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 ()AT10BT13CT17DT25a3a6a18aq2517(a1q8)3a，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值二、填空题7.在等比数列an中，若a9a10a (a0)，a19a20b，则a99a100_.8.已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_100_.9.已知数列an是正项等比数列，若a132，a3a412，则数列log2an的前n项和Sn的最大值为_15_.10在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.解析等比数列an的前3项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.三、解答题11.已知等比数列an的公比q1，a1与a4的等比中项是4，a2和a3的等差中项为6，数列bn满足bnlog2an.(1)求an的通项公式； (2)求bn的前n项和. (1)an2n(2)解bnlog2an，an2n，bnn.bn的前n项和Sn123n.12.设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3 (nN*)，其中m为常数，m3且m0.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1) (nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.证明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man，m3且m0， (n1).an是等比数列.(2)由(3m)S12ma1m3，S1a1，解得a11，b11.又an的公比为，qf(m)，n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，推出，是以1为首项，为公差的等差数列，1，bn.13已知数列log2(an1)为等差数列，且a13，a25.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求的值10(1)证明设log2(an1)log2(an11)d (n2)，因为a13，a25，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，所以log2(an1)n，所以an12n，所以2 (n2)，所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)可得an1(a11)2n1，所以an2n1，所以114已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 010.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)an1(n1)22n1又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1 (2)由an1得当n2时，an.两式相减得：当n2时，an1an2cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，c13.cnc1c2c3c2 01033(332 010)32 010.