2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何.doc

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+BCADACBD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设P为ABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1 在ABC中，ABC=700，ACB=300，P，Q为ABC内部两点，QBC=QCB=100，PBQ=PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。证明 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为ACP=PCQ=100，所以，在ABP，BPQ，ABC中由正弦定理有，由，得。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2面积法。例2 见图16-1，ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为BPD的平分线。证明 设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则又因为SABCD=SADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为BPD的平分线。3几何变换。例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。证明 由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。连结，则要证PM=MQ，只需证，又MDQ=PFM，所以只需证F，P，M，共圆。因为=1800-=1800-=1800-。（因为OM。AB/）所以F，P，M，四点共圆。所以MDQ。所以MP=MQ。例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ABC与A1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例5 设AD，BE与CF为ABC的内角平分线，D，E，F在ABC的边上，如果EDF=900，求BAC的所有可能的值。解 见图16-3，记ADE=，EDC=，由题设FDA=-，BDF=-，由正弦定理：，得，又由角平分线定理有，又，所以，化简得，同理，即所以，所以sincos-cossin=sin(-)=0.又-3PG.证明 因为，又G为ABC重心，所以（事实上设AG交BC于E，则，所以）所以，所以又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例7 H是ABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。解 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(xk,yk)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点C在直线BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足式和式，所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。7四点共圆。例8 见图16-5，直线l与O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。证明 过O作OCl于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，又因为OPAB，OCCP，所以P，M，Q，C四点共圆，所以OMOP=OQOC。由射影定理OA2=OMOP，所以OA2=OQOC，所以OQ=（定值）。所以Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1O1和O2分别是ABC的边AB，AC上的旁切圆，O1与CB，CA的延长线切于E，G，O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：PABC。2设O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。3已知两小圆O1与O2相外切且都与大圆O相内切，AB是O1与O2的一条外公切线，A，B在O上，CD是O1与O2的内公切线，O1与O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ABC的内心。4ABC内有两点M，N，使得MAB=NAC且MBA=NBC，求证：5ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6设点I，H分别是锐角ABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为BHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。8ABC中，C=900，A=300，BC=1，求ABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。