2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.3变换的复合与矩阵的乘法反射变换教学案苏教版选修4.doc

2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.3变换的复合与矩阵的乘法反射变换教学案苏教版选修41反射变换矩阵和反射变换像，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射其中定直线称为反射轴，定点称做反射点2线性变换二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况点在反射变换作用下的象例1(1)矩阵将点A(2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换(2)矩阵将点A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换思路点拨先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换精解详析(1)因为 ，即点A(2,5)经过变换后变为点A(2,5)，它们关于y轴对称，所以该变换为关于y轴对称的反射变换(如图1)(2)因为 ，即点A(2,7)经过变换后变为点A(7,2)，它们关于yx对称，所以该变换为关于直线yx对称的反射变换(如图2)(1)点在反射变换作用下对应的象还是点(2)常见的反射变换矩阵：表示关于原点对称的反射变换矩阵，表示关于x轴对称的反射变换矩阵，表示关于y轴对称的反射变换矩阵，表示关于直线yx对称的反射变换矩阵，表示关于直线yx对称的反射变换矩阵1计算下列各式，并说明其几何意义(1) ；(2) ；(3) .解：(1) ；(2) ；(3) .三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线yx的轴反射变换，得到的点分别是(5，3)，(5，3)和(3,5)2求出ABC分别在M1，M2，M3对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)解：在M1下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1,2)；在M2下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)；在M3下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，2)图形分别为曲线在反射变换作用下的象例2椭圆y21在经过矩阵对应的变换后所得的曲线是什么图形？思路点拨先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状精解详析任取椭圆y21上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P(x，y)则有 ，故.因为点P在椭圆y21上，所以y1，x1；因此x1.从而所求曲线方程为x21，是椭圆矩阵把一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称3求曲线y(x0)在矩阵对应的变换作用下得到的曲线解：矩阵对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y(x0)4求直线y4x在矩阵作用下变换所得的图形解：任取直线y4x在矩阵作用下变换所得的图形上的一点P(x，y)，一定存在变换前的点P(x，y)与它对应，使得 ，即(*)又点P(x，y)在直线y4x上，所以y4x，从而有yx，从而直线y4x在矩阵作用下变换成直线yx.根据(*)，它们关于直线yx对称如图所示1计算 ，并说明其几何意义解： ，其几何意义是：由矩阵M确定的变换是关于直线yx的轴反射变换，将点(x，y)变换为点(y，x)2在矩阵变换下，图(1)，(2)中的ABO变成了ABO，其中点A的象为点A，点B的象为点B，试判断相应的几何变换是什么？解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为.(2)对应的是关于y轴的轴反射变换，矩阵形式为.3求ABC在经过矩阵对应的变换后所得图形的面积，其中A(1,0)，B(2,0)，C(5,4)解：矩阵确定的变换是关于y轴的轴反射变换，它将点(x，y)变换为点(x，y)所以平面ABC在经过矩阵对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出ABC的面积即可所以所求图形的面积为6.4求出曲线yex先在矩阵对应的变换，后在矩阵对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？解：因为矩阵对应的变换是关于y轴的轴反射变换，变换后曲线为yex.又因为矩阵对应的变换是关于原点O的中心反射变换，变换后曲线为yex，即yex.两次变换对应的变换是关于x轴的轴反射变换5变换T使图形F：yx21变为F：y|x21|，试求变换T对应的变换矩阵A.解：当x(，1)(1，)时，A；当x1,1时，A.6若曲线1经过反射变换T变成曲线1，求变换T对应的矩阵(写出两个不同的矩阵)解：T或T.7求关于直线y3x对称的反射变换所对应的矩阵A.解：在平面上任取一点P(x，y)，令点P关于y3x的对称点为P(x，y)则化简得 .关于直线y3x对称的反射变换对应的矩阵为A.8已知矩阵M，N.在平面直角坐标系中，设直线2xy10在变换TM，TN先后作用下得到曲线F，求曲线F的方程解：TM是关于直线yx对称的反射变换，直线2xy10在TM的作用下得到直线F：2yx10.设P(x0，y0)为F上的任意一点，它在TN的作用下变为P(x，y)， ，即点P在直线F上，2y0x010，即2xy10.所求曲线F的方程为2xy10.