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,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,集体答疑通知,时间：1月 11 日，上午9:00-11:00； 下午1:00-4:45. 地点：教八400(西侧楼梯口附近),本班答疑,16周周一下午3-4节： 教四教师休息室 16周周三全天，周四中午和下午，周五上午：数学系525 同时欢迎网上答疑：QQ群, 课程中心,第五章 习题解析,P203选择3: A为对角阵，意味着和A相似的矩阵是可相似对角化的。 二重特征值1对应着2个线性无关的特征向量， r(1E-A) = 3-2=1, 据此可排除(B,C,D),P204选择6: 选择(D) tE-A可看成f(A), f(x)= t x 或者(t x)k. 若A和B相似，则(tE-A)k与(tE-B)k也是相似的.,P204 T1(3):,|E-A|=, 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 ,= ,按照第一行或第一列展开,或者 =,r1 r4,r4 + r1,-1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 -1,-,= ,2. A = = =3, a=1,4. A*的特征值是 0-1|A|,anxn + a1x + a0 +b1x-1+bmx-m,(x) =,(A)=,anAn + a1A +a0E +b1A-1+bmA-m,A = ,(A) =(),=,1.,如果对应着两个线性无关的特征向量,1, 2 , 则需要对其进行组合k11+k22,其中k1,k2不全为零.(作业批注k1k20有误),5.,A 1 1 1 T = 0 1 1 1 T,6. A2 3A + 2E = O 得 2 3 + 2 = 0,从而 = 1 或者 2,举例： A = E 或者 2E,7. A2 = E 得不到 A=E,A2 = E = A2 E = O,A = ,=,2 1 = 0,=,= 1,假设 -1.,则 |A+E| 0.,则 A+E 可逆.,而A2 E = O意味着(A+E)(A E)=O .,两边同乘 (A+E)-1 ，则得结果.,10.,P1-1A1P1=B1, P2-1A2P2=B2,=,P1 P2,A1 A2,P1 P2,=,B1 B2,-1,P205 14.,1, 2 线性无关！,15.,有k (k1)重特征值也有可能线性相关！,只要k 重特征值对应k个线性无关的特征向量即可！,再次提醒：对角阵 的对角元一定要与相似变换矩阵 P 的列向量对应！,18.,P-1AP= = A = P P-1,19.,只是利用迹和行列式相同，得不到结果！,还需利用“特征值相同”！,15.,(5) 若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式,P206 T20: 可联系T14,P206 T22:,“ T ”类型问题 (,为n维列向量),联系 P207: T32，T33,复习1. A= T = A2010 = ( T)2009 T,插曲：计算An 还可用：相似对角化； 另外，有时候A2 或A3 具有一 些迭代性质也利于简化计算.,复习2. r( T) r(), r( T) 1. 又因为T不是零矩阵，所以r(T) =1 特别的， 对于非零， r( T) =1. 所以，当 n1时，det( T)=0.,例.对于非零n(n1)维列向量, , 计算A= T 的特征值和特征向量.,因为 A = T = (T) = (T), 所以是一个对应于特征值1= T 的特征向量. 另外, Ax= 的基础解系中共有 n-r(A) = n-1 个线性无关的解向量1 ,2 ,n-1 .它们是对应特征值2=0 的特征向量.,分析：可算得A2 = T A，从而知道A的特征值只能为 T 或者0(或者直接计算).,当T 0 时， 可得A有n个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化,其相似于,T,0,0,类似例题 A= T ， 为实的非零列向量,注意，A为实对称矩阵，一定可以相似对角化，相似于对角阵,T,0,0,P207 第32题,A = pT + qT,P207 第33题,B = A 1T,例 若A=(1, 2,n)是n阶正交矩阵, 则 B=11T+ 2 2T+ +rrT (1rn)的特征多项式是?,习题五(B),26 注意(1) Q和是相伴相随的； (2) 正交化时，只需对同一特征值的 特征向量进行正交化； (3) 不要忘记单位化.,27,此题仅利用迹和行列式相等得不到结果.,28,p1p3,p2p3,p3,P =(p1,p2,p3),A=P P-1,单位化,Q,A=QQT,29,类似28，行列式=0意味着一个特征值=0,30 A=QQT = r(A)=r(),A2=QQT QQT =Q2QT = r(A2)=r(2),又因为 r() = r(2)，所以r(A) = r(A2),第六章 习题解析,P238填空4: A可逆= Ax= 只有零解 = 当x 时，Ax = xT(ATA)x = |Ax|2 0,P238填空5:,方法3 配方,方法1 写出实对称阵A, 顺序主子式大于0,方法2 求A的特征值；,例,假设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax32+4x1x2-2x2x3,1. 求一可逆线性变换x=Cy将f化成标准形；,(配方法更适合这题),2. 求f的矩阵A. 问：当参数a取什么值时，A的特征值大于零？(方法很多),P238填空6: f(x,y) = (a+b2)x2 - (bx-y)2 + 1. 令可逆变换 x = x, bx-y = y, 则 f(x,y) = (a+b2)x2 y2 + 1. 其在(0,0)达到极值 a+b20,P238填空10: 椭球面：特征值都大于零，正惯性指数=3， 正定矩阵； 柱面：(虚)椭圆柱面或者双曲柱面，有一个共性：秩为2 (特征值两正一零或一正一负一零),P238选择(2):,类似例题：问下列哪些矩阵是等价的，相似的，合同的？,1 1 1,0 0 1,0 0 0 2,0 0 -1,0 0 0,(4),(5),(3),(2),(1),1 1 0 1,(6),总结: 假设A与B同阶,A与B等价,秩相等,A与B相似,秩相等,行列式相等,迹相等,特征值相等,A与对角阵相似,k重特征值有k个线性无关的特征向量,A与对角阵相似,A为实对称阵,A与对角阵相似,特征值互异,实对称矩阵A与B相似,特征值相同,正确答案:,等价: (1),(4),(5); 以及 (2),(3),(6),相似: (1)(5);,合同: (1)(4)(5);,实对称矩阵A与B合同,正负惯性指数相同,正负特征值个数相同,一个矩阵A若与对称阵B合同, 则A必为对称阵;,特别地, 一个矩阵A若与对角阵合同, 则A必为对称阵;,据此, 可排除(6)与其他矩阵合同的可能性,C选项如何排除？取特殊 x=(0,0,1)T,如果一个方程的形式为,x2 + ay +bz + c = 0,其中a, b 不同时为零，那么它一定 表示一个抛物柱面.,P239选择(10):,P238选择(5):,P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵, xTAx 也是一个二次型，其对应的二次型矩阵为 (A+AT) .,xTAx,xT (A+AT)/2 x,xTAx +,直接分析,xTAx,=,xTAx +,(xTAx)T,例题：设A= ，若 xTAx=0对任意的n维列向量x成立, 则参数 a,b,c,d 需要满足什么条件？,a b c d,xTAx = xT x=0,a (b+c)/2 (b+c)/2 d,注: 填空题中可直接使用上面的结论, 证明题中视情况是否需要证明.,1(4),2 4 0 3 5 0 0 6,1 2 1 3 5/2 2 5/2 6,4,=,P1 P2,A C,P1 P2,=,B D,T,P239,4,反之不成立. 需举反例.,7,注意要求是正交变换.,第(2)题 特征值互异，特征向量自然正交.,0 0 0 0 1 0 0 0 4,x=Q1y,y22 + 4y32,4 0 0 0 1 0 0 0 0,x=Q2y,4y12 + y22,8,(1) x3=y3 不能丢；,(2) 代换两次后，需复合，最后应写成 x=Pz的形式,10, =,0 0 0 2 0 0 0 5,与二次型对应,A = QQT = Q1/2 1/2 QT( 最好交代1/2) = Q1/2 QTQ 1/2 QT = (Q1/2 QT) (Q1/2 QT),P240第11题: xT(ATA)x 正定 x, xT(ATA)x 0 x, (Ax)TAx 0 x, |Ax|20 x, Ax Ax =没有非零解 r(A) = 未知元的个数 = A的列数,P240第12题: 方法1: aii = ei AeiT 0, ei =0,0,1,0,0,第i个分量,方法2: A = PTP. 记 P = (pij )nn . 则 aii = p1i p1i + p2i p2i + pni pni,A = PTP 的另一个应用：,例题.设B为一个 n 阶实对称阵，A是n 阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的个数分别等于B 的正负惯性指数.,AB = PTPB,(PT )-1 ABPT = PBPT,AB与PBPT 相似，所以它们具有相同的特征值。,PBPT与B合同，因此它们的正负惯性指数相同。从而结论得证。,P240第14题: 此题可直接用定义来证明.请注意在用定义说明一个矩阵C是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=时， xTCx = 0 !,下面对矩阵ATA做些讨论.,P240第13题: “负定”,P240第14题: 注意矩阵ATA不是正定阵： xT AT Ax =|Ax|2 0 (非负定),设mn矩阵A的秩为r, 则由一已知结论可得 r(ATA) = r(A) = r. 则 ATA 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个特征值均为0.,1 1 0 0,r个1,另外，ATA 与下列矩阵合同,1 1 0 0,r个1,事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 若 xTBx 0, n维列向量x， 则 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个特征值均为0.,另外，B与下列矩阵合同,P240第15题: 可先从特征值的角度说明A* 和 A-1 是正定的，然后利用下面例题的证明思路，或利用P239习六(B)第4题的结论.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), M正定,x, y , 0, 0, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 设P1AP =,M正定 1, , s, 1, , t 0, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 设A为s阶的, 则当i s时,M正定 M的顺序主子式 0, A, B的顺序主子式 0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,= A的i阶顺序主子式,当i s时, M的i阶顺序主子式,= |A|B的is阶顺序主子式, A, B都正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 因为A, B都正定,PTAP = E, QTBQ = E,所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =,A O O B,证明: M正定 A, B都正定.,证明: (), 因为A, B都正定,A = PTP, B = QTQ,所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定.,P240 17 题假设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可逆阵P使得PTAP, PTBP都为对角阵.,A正定,= 存在可逆P使PT AP=E,对于PT BP, 其是对称的, 所以存在正交阵Q使得 QT (PT BP)Q= ， 是对角阵,而QT (PT AP)Q =QTEQ=E,= 可取M=PQ,例题(06-07试题).若,都是可逆的,都是正定,也是正定矩阵,实对称矩阵，且,矩阵，证明：,分析：可以利用“化成对角阵”的方法，用的其实是“化归思想”.,P240 第20题：注意不必求出正交变换矩阵Q.,设实对称阵A 的特征值为1, 2 , n . 则二次型 f=xTAx 在条件 x12 +x22 +xn2 =1 下的最大值一定是max1, 2 , n , 最小值一定是min1, 2 , n .,事实上，一定存在正交矩阵Q使得在可逆线性变换x=Qy下，二次型化为,我们可以总结：,f = 1y12 + 2 y22+ n yn2,且条件x12 +x22 +xn2 =1在正交变换下不变，即仍然成立 y12 +y22 +yn2 =1.,从而有， f max1, 2 , n (y12 +y22 +yn2 ) = max1, 2 , n ,以及， f min1, 2 , n (y12 +y22 +yn2 ) = min1, 2 , n ,且容易验证上述最大最小值可以取到. （注意条件： x12 +x22 +xn2=1 ）,联想,例题.设n阶实对称阵A 的特征值为1, 2 , n . 证明： min xTAx/|x|2 :x = min1, 2 , n , max xTAx/|x|2 :x = max1, 2 , n , 其中x为n维列向量.,P241 第23题(6) 令 y = y+1,P241 第29题 投影曲线方程需联立 z=0,P242 第35题 可逆线性变换也可化为标准形， 看出曲面类型.,P242 第37题 可以求出二次型部分的矩阵特 征值 2, k, 2-k, 据其正负讨论曲面类型； 或者用配方法化为标准形讨论.,P242 第33题 不要忘记“正交化”,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章 矩阵 矩阵的定义和运算； 可逆矩阵:特殊矩阵; 分块矩阵:为了更方便的运算; 初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称阵),特征值,惯性指数,矩阵世界， 纷繁复杂， 如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基, 就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个 应用,刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间),刻画Ax=的解空间，即寻找基础解系等,第三章 几何空间(R3): 可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。,第一章 行列式和方程组: 它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求解方程组的问题。,期末不作要求的内容,3.5 空间直角坐标变换 4.6 线性方程组的最小二乘解 5.4 矩阵的Jordan标准形 Matlab,总复习 (难题，典型题),1. 化归的思想,把一般的矩阵 对角阵 (相似，合同),把一般的矩阵 等价标准型,例题.证明：给定一个n n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得 A = PC, 且 C2 =C.,提示：可联系习题二(B) 29，28,分析：设 M, N 为可逆阵使得 A=MBN, 其中 B为A的等价标准形. 不难验证 B2 = B. 令 C= N-1BN, P=MN, 命题得证.,2 “ T ”类型问题 (,为n维列向量),参见 P206 第22题,例. 设A与EA都可逆, G = (EA)1E, 求证G也 可逆, 并求G1.,证明: G = (EA)1 (EA)1(EA),= (EA)1(E (EA) = (EA)1A,G1 = A1(EA) = A1 E.,3. 会求逆矩阵,注：您是如何算函数 (1-x)-1 -1 的倒数？,方法很多！,(3) (A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E,(A+kE)A+(1-k)E=E,(2+k-k2),P87 15题. 已知 A2+A-2E=O,当 2+k-k2 = 0时如何？,此时 k=2 (k要求是自然数)， 则A+2E可逆吗,由 A2+A-2E=O 得 (A+2E)(A-E)=O,若A+2E可逆， 则A=E，从而A+2E=3E,所以 (A+kE)-1 = E,4 熟悉矩阵运算 (1)如矩阵A的各行元素之和等于零，能得到什么？ 如矩阵A的各列元素之和等于零，能得到什么？,(2) 联系A与A*：AA*=|A|E,A与B相似，A可逆，则A*与B*相似.,A*的秩与A的秩之间的关系(习题二(B)31题).,(3) 设A,B是n阶正交矩阵，并且|AB|=-1，证明|A+B|=0.,证：不妨设|A|=1，|B|=-1. 则|BT|=-1. |A+B|BT|=|ABT+BBT|=|ABT+E| =|ABT+AAT| =|A(BT+AT)| =|A|BT+AT|=|BT+AT|=|A+B|,(4) 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则有,tr(AB) =tr(BA),特别地， tr(T )=tr(T ),(5) 一般来说矩阵乘法不可交换，但当 AB=E 时， 则自然有 AB =BA.,例题(09-10-2几代最后一题),假设A, B都是nn矩阵，若存在不为零的数 x,y使得AB=xA+yB, 证明：AB=BA.,分析： AB-xA-yB = O,(A-yE)(B-xE) = xyE,(6)熟悉一些分块矩阵的运算,(a) 若 AB=O, 则 A(b1,b2,bn) =(, ).,从而 Abi= , i =1, 2, , n; 也就是说B的列向量是Ax= 的解. 若bi不为零向量，还可以作为A的特征向量(前提是A为方阵).,(b) 若 A=(A1,A2,A3,A4), -2A1+A3-5A4= , 则 A(-2,0,1,-5)T = . 也就是说(-2,0,1,-5)T 是Ax= 的解.,5. 此类题需掌握,例. 当参数k取什么值时， 直线,相交？,例. 讨论下列三个平面的相对位置.,1 : x+y+6z=3; 2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; 3 : (1-a)x + (2b-1)z =0.,其中，a, b 是参数.,课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.,Ax= 和 Ax=b解之间的 联系及线性相关性,(1)熟练掌握P170-171: 32, 35, 36, 40,(2)根据参数讨论方程组解的情形也是常考的点,(3) 例题 已知44矩阵A的秩为3, 1,2,3是线性方程组Ax=b的解, 且1+2 =(2,4,6,8)T, 32-23 =(1,3,5,7)T, 则Ax=b的通解为,例题,7 矩阵方程 AX=B, XA=B (不管A可逆与否，A是方阵与否),AX=B有解 r(A,B)=r(A),XA=B有解 ATXT=BT有解,r(AT, BT) = r(AT),8 “AB”和“BA”,(1) tr(AB)=tr(BA)；,(2) 若A或者B可逆，则AB与BA相似；,(3) 若A,B为n阶方阵，则AB与BA的特征值相同.（如何证明？）,(4)设A, B均为n阶正定矩阵, 证明: AB为 正定矩阵当且仅当 AB = BA.,若A满足A2=kA， 则A的特征值为k或者0；注意到A(A-kE)=O，所以r(A)+r(A-kE) n, 进一步可推得A有n个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。,同理 A满足A2=kE(k0)时，也一定可以相似对角化。,9. A2=kA, A2=kE,例 设n 阶矩阵A 满足A2 = 2A, 则以下结论中未必成立的是 . AI 可逆, 且(AI)1 = AI; A = O 或A = 2I; (C) 若2 不是A 的特征值, 则A = O; (D) |A| = 0 或A = 2I.,B,10. 会画图.,例题(09-10-2几代试题),设1是抛物线 绕 y 轴旋转所得曲面， 2是平面x-2y+z=4. 求1的方程；求1与2的交线在xOy平面上的投影曲线的方程；并画出由1、2所围成的空间有界区域的草图.,1 : (x2+z2)+2y=0,2 : x-2y+z=4,消去z,x2+(4-x+2y)2+2y=0,联立z=0, 得投影曲线方程,x-2y+z=4,1：,2：,x,y,z,o,4,4,-2,12 说明一个命题不成立，只需一个反例； 说明一个命题成立，一个例子是不够的。,11 没有办法的时候，要想到从定义出发给出证明；或者“待定系数法”,天高任鸟飞 海阔凭鱼跃,
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