2019-2020年高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数教案 苏教版必修4.doc

2019-2020年高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数教案 苏教版必修4教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境三维目标1通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号2正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来3能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示课时安排2课时第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180，那么sin200的值还是三角形中200的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择推进新课任意角的三角函数1任意角的三角函数的定义角的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，则角的三角函数定义为：三角函数定义定义域sinRcosRtan|k，kZ2各象限角的三角函数值的符号如下图所示图1三角函数正值口诀：全正，正弦，两切，余弦教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数如图2.设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin，cos，tan.怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变也就是说，对于确定的角，比值和都惟一确定，故正弦、余弦都是角的函数当k(kZ)时，角的终边在y轴上，故有x0，这时tan无意义除此之外，对于确定的角(k，kZ)，比值也是惟一确定的，故正切也是角的函数sin、cos、tan分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么特别注意既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2)sin不是sin与的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域对于正弦函数sin，因为y恒有意义，即取任意实数，y恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k(kZ)(由学生填写下表)三角函数定义域sinRcosRtan|k，kZ三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y0，点P在第三、四象限时，纵坐标y0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的从而完成上面结论的探究思路1例1已知角的终边经过点P(2，3)，求的正弦、余弦和正切值图4解：因为x2，y3，所以r.所以sin，cos，tan.点评：本例是已知角终边上一点的坐标，求角的三角函数值问题可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.变式训练求的正弦、余弦和正切值解：在平面直角坐标系中，作AOB，如图5.图5易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，)所以sin，cos，tan.例2见课本本节例2.变式训练1求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角证明：我们证明如果式都成立，那么为第三象限角因为sin0成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限于是角为第三象限角反过来请同学们自己证明点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知costan0时，rk，是第四象限角，sin，sec，10sin3sec10()3330.(2)当k0时，P(k，3k)是第四象限内的点，角的终边在第四象限；当k0时，P(k，3k)是第二象限内的点，角的终边在第二象限内，这与角的终边在y3x上是一致的例2求函数ytan的定义域活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示解：要使函数ytan有意义，则sin0且k(kZ)由正弦函数的定义知道，sin0就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标非负角的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2k2k(kZ)函数的定义域是|2k2k，或2k0，且0，且sinxcosx0，则角x是第_象限角参考答案：1.D2.A3.A4.5解：(1)105、230分别是第二、三象限角，sin1050，cos2300.sin105cos2300.(2)60，tan60.cos6tan60，cos1910.6一解析：由tanx0，知x为第一或第三象限角，而当x是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinxcosx0矛盾，故知角x是第一象限角第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来推进新课活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线2有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值当角的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y1，|sin|cos|1.例2证明恒等式2.活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子证法一：设M(x，y)为角终边上异于原点的一点，|OM|r，由三角函数定义，有sin，cos，sec，csc.原式左边2右边原等式成立证法二：左边2右边左边右边原等式成立点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.变式训练求证：.证明：设M(x，y)为终边上异于原点的一点，|OM|r，由三角函数定义，有sin，cos，tan，sec.左边，右边，左边右边，故原等式成立.课本本节练习7、8.本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具利用单位圆和三角函数线证明：若为锐角，则(1)sincos1；(2)sin2cos21.证明：如图10，记角与单位圆的交点为P，过P作PMx轴于M，则sinMP，cosOM.图10 (1)在RtOMP中，MPOMOP，即sincos1.(2)在RtOMP中，MP2OM2OP2，即sin2cos21.对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力一、一个三角不等式的证明已知(0，)，求证：sintan.证明：如图11，设锐角的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PMx轴于点M，则MPsin，ATtan，的长为，连结PA.图11SOPAS扇形OPASOAT，|OA|MP|OA|2|OA|AT|.|MP|AT|，则MPAT，即sintan.二、备用习题1若，则sin，cos，tan的大小关系是()Atancossin BsintancosCcostansin Dcossintan2若02，则使sin同时成立的的取值范围是()A(，) B(0，)C(，2) D(0，)(，2)3在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是_4设0sinsin.5当0,2)时，试比较sin与cos的大小参考答案：1.D2.D3.(，)4证明：如图12，设单位圆与角、的终边分别交于P1、P2，作P1M1x轴于M1，作P2M2x轴于M2，作P2CP1M于C，连结P1P2，图12则sinM1P1，sinM2P2，P1P2CP1M1P1M1CM1P1M2P2sinsin，即sinsin.5解：如图13.(1)当0y1，而siny1，图13cosx1，cossin.(2)当时，x1y1，此时sincos.(3)当x2，而siny2，cosx2，sincos.(4)当时，sin0，coscos.(5)当时，设角的终边与单位圆交于点P3(x3，y3)，此时x3y3cos.(6)当时，有sincos.(7)当时，设角的终边与单位圆交于点P4(x4，y4)，此时y4x40，而siny4，cosx4，sincos.(8)当2时，cos0，sinsin.综上所述，当(，)时，sincos；当或时，sincos；当0，)(，2)时，sincos.