2019-2020年高中数学 一元二次不等式组解法教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学 一元二次不等式组解法教案 新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a0)或ax2+bx+c0(a0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a0，这与一元二次方程、二次函数只要求a0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a10时，将不等式乘1就化成了“a0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表：记忆图 分类0=00ax2+bx+c0 (a0)的解集（，x1）（x2,）（，x0）（x0，）Rax2+bx+c0 (a0)的解集(x1，x2) 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c0 (a0)或ax2+bx+c0 (a0)。这步可简记为“使a0”。 2.计算=b24ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，0时求出根。 3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。 例：解不等式 x+23x2 解：原不等式等价于 3x2x20 解方程3x2x2=0得二根：，x2=1。 原不等式的解集为（，1）。第二阶梯 例1、解下列不等式： （1）2+3x2x20； （2）x2+2x3x0； （3）x24x+40 【解】 （1）原不等式等价于2x2-3x-20 由2x23x2=0得，x2=2. 原不等式的解集是 （2）原不等式等价于:x2-2x+30,x1+x20的条件。 2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。第三阶梯 例5、已知A=，B=。 （1）若BA，求a的取值范围； （2）若AB是单元素集合，求a取值范围。 【探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。 【解】解不等式得A=1，2；而B=0。 （1）若BA，如图1，得a的取值范围是1a2。 （2）若AB是单元素集合，如图2，AB只能是集合1 a的取值范围是a1。 【评注】 集合B的最简表示只能是B=，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B=1，也不该表示为区间。 例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a20(aR)。 【探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。 【解】 解方程2x2-5ax-3a2=0，得 当a0时，3a，原不等式的解集是（，3a）； 当a0时，3a，原不等式的解集是（3a，）； 当a=0时，=3a=0，原不等式的解集是。 【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。 例7已知（且b0）的解集为x|1x2，求实数a，b的值。 【探路】将不等式|ax+3|b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。 【解】 关于x的二次不等式（a20)的解集为1，2。 1和2是方程的二根 解得；或 b0，舍去后一组解。 a=-6,b=9 【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。 三、练习题A组 1.不等式|x(x+1)| x(x+1)的解集是（ ） （A）（，1）（1，+） （B）（1，+） （C）（，1）（1，0） （D）（1，0） 2.不等式42x2+axa2（常数a0）的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 3.不等式0的解集是（ ） （A）（0，3） （B）（3，0） （C）（3，3） （D）R 4.若关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集为，那么（ ） （A）a0，且b24ac0 （B）a0，且b24ac0 （C）a0，且b24ac0 （D）a0，且b24ac0 5.有三个关于x的方程：，已知其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为（ ） （A）4a4 （B）2a4 （C）a0 （D）a2，或a4 6.不等式4x2-3x18的整数解集是 。 7.若方程组有两组解，则实数m的取值集合是 。 8.集合A=，B=，则AB= 。 9.若的解集是x|2x4，则p，q的值分别是p= ，q= 。 10.对任何实数x，函数的值恒为负数，则p的取值范围是 。 【答案】 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.2，1，4，5 7.（） 8.（2，4） 9. 10.4p0B组 1解不等式： (1)（x+1）(x+2) 0; (2) 2x(x-) 0; (3)14-4x2 x; (4)0x2-x-2 4. 2.解不等式组 x(x2+1)(x+1)(x2-x+1), 1-2x3(x-9). 3.解不等式： （1） 0 （2） 1 4解不等式（x+a）(x+b)0 (ab) 5X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。 6已知U=R,且A=x| x2-9 0 ,B=x| x2-3x+2 0 求： （1）AB； （2）AB （3）Cu（AB） （4）（Cu A）（Cu B） 7不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1 9.已知全集U=R，A=x|x2-x-60,B=x|x2+2x-80,C= x|x2-4ax+3a0,若ABC，求实数a的取值范围。 10已知A=x|x-a1,B=x| 0,且AB=,求a的取值范围。 答案 1（1）x|x-1; (2)x|0X; (3) x|-2x; (4) x|-2X-1 SPAN 或2x3 2.x|1 x 3.(1) x|- X; (2) x| x 4.x|x-a. 5.x|2X3 6.易得A（3，3），B（，1）2，则 （1）ABx|-33 （2）ABR （3）Cu(AB)=x|x 3或1X2或X3. （4）(CuA)( CuB)=x|x3或1X2或X3 7当a2-1=0时a=1,有x R. 当a2-1 0时， （a-1）2+4(a2-1)=5a2-2a-30 a2-10 即A1时有XR. 综上所述：A1 8x化为0，化为 或即x1或-1X0,所以解集为x|-1X1 9.A=(-2,3),B=(, -4 ) (2,+),A B=(2,3),C=x|(x-a)(x-3a)0, 当a0时，c=(a,3a),由A B C得 即1a2. 10.A=a-1,a+1, B=0,1 (3,+ ) a+10或即a-1.