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2019-2020年高中数学 3.4.2 基本不等式 的应用(一)优秀教案 新人教A版必修5备用习题1.已知a、b是正实数,试比较an+bn与a n-1b+abn-1的大小.解:an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时,a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;当ba0时,a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(a n-1-b n-1)0;当b=a0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0;所以当ab时,an+bna n-1b+ab n-1;当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC内接于单位圆,且(1+tanA)(1+tanB)=2,(1)求证:内角C为定值;(2)求ABC面积的最大值. ()证明:由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,,即tan(A+B)=1.C=135.(2)解析:由题意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.当AC=BC时,SABC有最大值,最大值为SABC= (AC)2.再作辅助线如图,连结OC、OA,OC交AB于D得ABOC,所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区,为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?解析:设全部物资到达灾区所需时间为t小时,由题意可知t相当于:最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间,因此,. 当且仅当,即x=80时取“=”.答:这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间是10小时.4.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米,问a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A、B孔面积忽略不计)分析:应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值.解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,根据题意可知,其中k0且k是比例系数.依题意要使y最小,只需求ab的最大值.由题设得4b2ab2a0(a0,b0),即a2bab30(a0,b0),a2b2,2ab30.当且仅当a2b时取“”,ab有最大值.当a2b时有2abab30,即b22b10.解之,得b 13,b2(舍去).a2b.故当a米,b3米时,经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,由题意可知4b2ab2a0(a0,b0),a2bab30(a0,b0).(0a30).由题设,其中k0且k是比例系数,依题只需ab取最大值.当且仅当a2时取“”,即a,b3时ab有最大值18.故当a米,b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.点评:均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程为(1)先构造定值;(2)出现关系式;(3)验证“”成立.5.如图,在ABC中,0,AC3,B4,一条直线分AB的面积为相等的两部分,且夹在AB与BC之间的线段最短,求此线段长.分析:本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF,同时考虑到题设中的等量关系,即SBSAB,因此,所选变量还应便于求两个三角形的面积,于是考虑设BEx,By.解:设Bx,By(0x4,0y),则SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依题意可知SBSAB.xysinB3.,xy10,又,在B中,由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14,当且仅当xy时,等号成立.故此时线段EF的长为2.点评:本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用,当解析式比较复杂时,利用三角函数的有关知识,巧妙地寻求等量关系,合理变形,是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到:数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.
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