2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式 的证明优秀教案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式 的证明优秀教案 新人教A版必修5一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1，a2，a3，a n为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即，即AG,当且仅当a1a2an时，AG.特别地当n2时，,当n3时，. (2)用局部调整法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0a1a2a n，易证a 1Aa n，且a1Gan.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a 1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1anA，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，a n1，a1a nA.这一代换具有下列性质：两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1=A,两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则G1A(a1anA)a 1an(Aa1)(a nA),由a1Aan，得(Aa1)(anA)0,则A(a1anA)a1an.Aa 2a 3a n1(a1a nA)a1a 2an1a n.G1G.若第二组数全相等，则A1G 1，于是AA1G 1G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1bnA代替，因为有b1A1b n且A1A.因而第二组数中的A不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n2次替换，新数中至少出现n2个A，最多经过n1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即GG 1G2G k，而GkAkA，因而GA成立.二、课外拓展平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理：设n个正数a1，a2，an，记调和平均几何平均， 算术平均，平方平均.这4个平均有如下关系：HnGnAnQ n,等号成立的充要条件都是a1=a 2=a n.