2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式 的证明优秀教案 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式 的证明优秀教案 新人教A版必修5一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1,a2,a3,a n为正实数,这n个数的算术平均值记为A,几何平均值记为G,即,即AG,当且仅当a1a2an时,AG.特别地当n2时,,当n3时,. (2)用局部调整法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等.不失一般性,设0a1a2a n,易证a 1Aa n,且a1Gan.在这n个数中去掉一个最小数a1,将a 1换成A,再去掉一个最大数an,将an换成a1anA,其余各数不变,于是得到第二组正数:A,a2,a3,a n1,a1a nA.这一代换具有下列性质:两组数的算术平均值不变,设第二组数的算术平均值为A1,那么A1=A,两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1,则G1A(a1anA)a 1an(Aa1)(a nA),由a1Aan,得(Aa1)(anA)0,则A(a1anA)a1an.Aa 2a 3a n1(a1a nA)a1a 2an1a n.G1G.若第二组数全相等,则A1G 1,于是AA1G 1G证明完毕.若第二组数不全相等,再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn,分别用A1(即A)和b1bnA代替,因为有b1A1b n且A1A.因而第二组数中的A不是最小数b1,也不是最大数bn,不在去掉之列,在替换中不会被换掉,而只会再增加,如此替换下去,每替换一次,新数中至少增加一个A,经过n2次替换,新数中至少出现n2个A,最多经过n1次替换,得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中,数组的算术平均值不变,始终等于A,而几何平均值不断增大,即GG 1G2G k,而GkAkA,因而GA成立.二、课外拓展平均值不等式:平均不等式是最重要而基本的不等式之一,应用极其广泛,如能灵活运用,将产生意想不到的效果,这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料,阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理:设n个正数a1,a2,an,记调和平均几何平均, 算术平均,平方平均.这4个平均有如下关系:HnGnAnQ n,等号成立的充要条件都是a1=a 2=a n.
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