2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程教案 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程教案 新人教B版必修2教学分析教材利用圆的标准方程推导出了圆的一般方程，并讨论了二元二次方程与圆的关系，值得注意的是在教学中引导学生分析圆的两种方程形式的特点和各自适用的范围三维目标1掌握圆的一般方程的特点，培养分类讨论的数学思想2会求圆的方程，提高分析问题、解决问题的能力重点难点教学重点：圆的一般方程及其与标准方程的互化教学难点：对条件“D2E24F0”的理解课时安排1课时导入新课设计1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.将圆的标准方程展开并整理，得x2y22ax2bya2b2r20.如果设D2a，E2b，Fa2b2r2，得到方程x2y2DxEyF0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式能不能说方程x2y2DxEyF0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课学习的内容设计2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式推进新课(1)前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？,(2)这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？,(3)给出式子x2y2DxEyF0，请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.,(4)把式子(xa)2(yb)2r2与x2y2DxEyF0配方后的式子比较，得出x2y2DxEyF0表示圆的条件.,(5)对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：(1)以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、)展开整理而得到的(2)我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中，r0时表示圆，r0时表示点(a，b)，r0时，表示以(，)为圆心，为半径的圆；当D2E24F0时，方程仅有一组实数解x，y，即只表示一个点(，)；当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆因此x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F0.我们把形如x2y2DxEyF0表示圆的方程称为圆的一般方程(5)圆的一般方程形式上的特点x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显思路1例1将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：(1)x2y24x6y120；(2)4x24y28y4y150.解：(1)对方程左边配方，方程化为(x2)2(y3)225.所以圆心的坐标为(2,3)，半径为5.(2)方程两边除以4，得x2y22xy0.方程左边配方，得(x1)2(y)25.所以圆心的坐标为(1，)，半径为.变式训练1圆x2y24x8y0的圆心坐标是_，半径r_.答案：(2,4)22圆x2y2Dx4y10的半径r4，则D_.答案：2例2求过三点A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.根据题设条件，用待定系数法确定D，E，F.因为点A，B，C的圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得于是得到所求圆的方程x2y26x2y150.点评：我们也可以设圆的方程为(xa)2(yb)2r2.同样，根据已知条件可以列出三个未知数的方程组通过解方程组，求出a，b，r.那样做，会有较大的运算量变式训练求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径和圆心坐标解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圆上，则有解得D8，E6，F0.故所求圆的方程为x2y28x6y0，即(x4)2(y3)252.所以圆心坐标为(4，3)，半径为5.例3已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是.由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为，两边平方并化简，得曲线方程x2y22x30，将方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲线是圆心为C(1,0)，半径为2的圆(如下图)点评：到两定点A(a，b)，B(c，d)距离的比为(0)的点的轨迹为C，当1时，C为直线即线段AB的垂直平分线；当1或00，即m15.由韦达定理因为PRQR，所以kPRkQR1.所以1，即(x11)(x21)(y11)(y21)0，即x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20.因为y13，y23，所以y1y2(3)(3)9(x1x2)9，y1y26.代入，得x1x250，即(m12)50.所以m10，适合m15.所以实数m的值为10.本节课学习了：圆的一般方程，轨迹方程的求法本节练习B1,2题这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重，知识、能力、思想方法并重”在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，引导学生探索，重视探索过程一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾、类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法同时，通过类比进行条件的探求“D2E24F”与“”(判别式)类比在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程备选习题1若方程x2y2xya0表示圆，则a的取值范围是()Aa BaCR Da0.解之，可得2a0，从而f(x，y)f(x0，y0)x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0，过点A(x0，y0)与圆C同心的圆答案：C4判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心坐标及半径(1)4x24y24x12y90；(2)4x24y24x12y110.解：(1)由4x24y24x12y90，得D1，E3，F，而D2E24F19910，所以方程4x24y24x12y90表示圆的方程，其圆心为(，)，半径为；(2)由4x24y24x12y110，得D1，E3，F，D2E24F191110，所以方程4x24y24x12y110不表示圆的方程点评：对于形如Ax2By2DxEyF0的方程判断其是否表示圆，先化为x2y2DxEyF0的形式，再利用条件D2E24F与0的大小判断，不能直接套用另外，直接配方也可以判断5已知P(2,0)、Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q距离的，求点M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l：8xy10的最小距离解：设M(x，y)，则|MP|，|MQ|，由题意得，|MP|MQ|，.化简并整理，得(x)2y2.所求轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆，圆心到直线l的距离为.圆上的点到直线l的最小距离为.