2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4.doc

2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4课标解读1.了解双曲线、抛物线的参数方程2理解椭圆的参数方程及其应用3能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.1椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)1(ab0)(为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程1(a0，b0)(为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程是(tR，t为参数)(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗？【提示】椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角2双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？【提示】sec ，其中0,2)且，.3类比y22px(p0)，你能得到x22py(p0)的参数方程吗？【提示】(p0，t为参数，tR)椭圆的参数方程及应用将参数方程(为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标【思路探究】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质【自主解答】由得两式平方相加，得1.a5，b3，c4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(4,0)椭圆的参数方程(为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上若本例的参数方程为，(为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】将，化为两式平方相加，得1.其中a5，b3，c4.所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，4)与F2(0,4)已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x2y70距离的最小值【思路探究】(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于的函数，转化为求函数的最值【自主解答】(1)由得曲线C1：(x4)2(y3)21，C1表示圆心是(4,3)，半径是1的圆曲线C2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆其参数方程为(为参数)(2)依题设，当t时，P(4,4)；且Q(8cos ，3sin )，故M(24cos ，2sin )又C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，从而当cos ，sin 时，(其中由sin ，cos 确定)cos()1，d取得最小值.1从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性2第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数的函数的最小值(xx开封质检)已知点P是椭圆y21上任意一点，求点P到直线l：x2y0的距离的最大值【解】因为P为椭圆y21上任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中0,2)又直线l：x2y0.因此点P到直线l的距离d.所以，当sin()1，即时，d取得最大值.双曲线参数方程的应用求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值【思路探究】设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算【自主解答】由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec ，btan )，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1d2(定值)在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 tan2 1的应用如图221，设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|PF2|OP|2.图221【证明】设P(sec ，tan )，F1(，0)，F2(，0)，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|2sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1|PF2|OP|2.抛物线的参数方程设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程【思路探究】解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可【自主解答】设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t0时，直线OP的方程为yx，QF的方程为y2t(x)，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y22x(x)，点M的轨迹方程为2x2pxy20(x0)当t0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.1抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数2用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程(xx天津高考)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.【解析】根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以E(，)，F(，0)，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去)【答案】2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P、Q两点，O为椭圆的中心求证：|OP|OQ|为定值(xx徐州模拟)如图222，已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点图222求证：|OP|OQ|为定值【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力【证明】设M(2cos ，sin )(为参数)，B1(0，1)，B2(0,1)则MB1的方程：y1x，令y0，则x，即|OP|.MB2的方程：y1x，|OQ|.|OP|OQ|4.因此|OP|OQ|4(定值).1参数方程，(为参数)化为普通方程为()Ax21Bx21Cy21 Dy21【解析】易知cos x，sin ，x21，故选A.【答案】A2方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A圆 B椭圆C双曲线 D双曲线的一部分【解析】由xcos a，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分【答案】D3(xx陕西高考)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_【解析】将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p4p2，则焦点坐标为(1,0)【答案】(1,0)4(xx湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.【解析】将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解消去参数t得2xy30.又消去参数得1.方程2xy30中，令y0得x，将(，0)代入1，得1.又a0，a.【答案】(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1曲线C：，(为参数)的离心率为()A.B.C. D.【解析】由题设，得1，a29，b25，c24，因此e.【答案】A2参数方程，(为参数)的普通方程是()Ay2x21Bx2y21Cy2x21(1y)Dy2x21(|x|)【解析】因为x21sin ，所以sin x21.又因为y22sin 2(x21)，所以y2x21.1sin 1，y，1y.普通方程为y2x21，y1，【答案】C3点P(1,0)到曲线(参数tR)上的点的最短距离为()A0 B1C. D2【解析】d2(x1)2y2(t21)24t2(t21)2，由t20得d21，故dmin1.【答案】B4已知曲线，(为参数，0)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是()A(3,4) B(，2)C(3，4) D(，)【解析】由题意知，3cos 4sin ，tan ，又0，则sin ，cos ，x3cos 3，y4sin 4，因此点P的坐标为(，)【答案】D二、填空题(每小题5分，共10分)5已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为_【解析】由得点M的坐标为(1,2)直线OM的斜率k2.【答案】26(xx江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_【解析】化为普通方程为yx2，由于cos x，sin y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.【答案】cos2sin 0三、解答题(每小题10分，共30分)7(xx平顶山质检)如图223所示，连接原点O和抛物线yx2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图223【解】抛物线标准方程为x22y，其参数方程为得M(2t,2t2)设P(x，y)，则M是OP中点(t为参数)，消去t得yx2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线8(xx龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是cos sin 10.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长【解】由题意知直线和椭圆方程可化为：xy10，y21，联立，消去y得：5x28x0，解得x10，x2.设直线与椭圆交于A、B两点，则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，(，)，则|AB|.故所求的弦长为.9(xx漯河调研)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【解】(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得点(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为dcos()2，由此得，当cos()1时，d取得最小值，且最小值为.教师备选10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标【解】设椭圆的参数方程是，其中，ab0,01即b，与b矛盾因此必有1成立，于是当sin 时，d2有最大值，由题设得()24b23，由此可得b1，a2.所求椭圆的参数方程是由sin ，cos 可得，椭圆上的点(，)，点(，)到点P的距离都是.