2019年高考数学第一轮复习 第十二篇 推理与证明、算法、复数细致讲解练 理 新人教A版.doc

2019年高考数学第一轮复习 第十二篇 推理与证明、算法、复数细致讲解练 理 新人教A版最新考纲1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断辨 析 感 悟1对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(5)(xx安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为18.()2对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()感悟提升三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的如(7)学生用书第200页考点一归纳推理【例1】 (xx湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析由N(n,3)n2n，N(n,4)n2n，N(n,5)n2n，N(n,6)n2n，推测N(n，k)n2n，k3.从而N(n,24)11n210n，N(10,24)1 000.答案1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法【训练1】 (1)(xx佛山质检)观察下列不等式：1；.则第5个不等式为_(2)(xx陕西卷)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n135(2n1)答案(1)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)考点二类比推理【例2】 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”审题路线三角形面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的得出结论答案V四面体ABCD(S1S2S3S4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.则四维空间中“超球”的四维测度W2r4，猜想其三维测度V_.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2r4)8r3.答案8r3考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10， (小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)， (小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)学生用书第201页规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 “因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案A1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)创新突破12新定义下的归纳推理【典例】 (xx湖南卷)对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_突破1：读懂信息，对于集合Xai1，ai2，aik来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100是一个新的数列，该数列的xi1xi2xik1，其余项均为0.突破2：通过例子：“子集a2，a3的特征数列为0,1,1,0，0，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：根据p11，pipi11可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，1,0,0，归纳出子集Q.突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可解析(1)根据题意可知子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，1,0，则Pa1，a3，a2n1，a99(1n50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，则Qa1，a4，a3k2，a100(1k34)，则PQa1，a7，a13，a97，共有17项答案(1)2(2)17反思感悟 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力【自主体验】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析已知f(x1)f(x2)f(xn)f， (大前提)因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案对应学生用书P379基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确答案C2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案D3(xx江西卷)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C4(xx长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D解析经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.答案B5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析正确；错误答案B二、填空题6(xx西安五校联考)观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出结论：_.解析各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案数列为等比数列，且通项为b1()n18(xx揭阳一模)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n个等式：_.答案2cos 三、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表31131354 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(xx江西卷)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选B.答案B2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案C二、填空题3在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S(2)3，N1，L6.(2)由(1)知，S四边形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S4，N1，L8.则Sa8bc4.联立解得a1，b.c1.SNL1，若某格点多边形对应的N71，L18，则S7118179.答案(1)3,1,6(2)79三、解答题4(xx福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.学生用书第202页第2讲直接证明与间接证明最新考纲1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)思维过程：执果索因2间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()感悟提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.考点一综合法的应用【例1】 (xx新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.学生用书第203页规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明【训练1】 (1)设a0，b0，ab1，求证：8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.证明(1)ab1，11222248，当且仅当ab时，等号成立(2)a，b，c全不相等，且都大于0.与，与，与全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，求证：a2.审题路线从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都变为正项)平方移项整理平方移项整理可得显然成立的结论证明(1)要证a2，只需要证2a.a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练2】 已知m0，a，bR，求证：2.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.学生用书第204页规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根证明假设三个方程都没有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的答题模板13反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(xx北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 (2分)所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2. (5分)(2)证明假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. (7分)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M. (9分)因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.(11分)因为k1，所以AC与OB不垂直 (13分)所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.学生用书第205页【自主体验】设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标为.从而2x2y22221，所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2y21上对应学生用书P381基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(xx安阳模拟)若ab0，则下列不等式中成立的是()A. BabCba D.解析(特值法)取a2，b1，验证C正确答案C2用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论答案A3(xx上海模拟)“a”是“对任意正数x，均有x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案A4(xx张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5(xx天津模拟)p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()Apq Bpq Cpq D不确定解析q p.答案B二、填空题6下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案37已知a，b，m均为正数，且ab，则与的大小关系是_解析，a，b，m0，且ab，ba0，.答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上序号)答案三、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10(xx鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(xx漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析，又f(x)x在R上是减函数，ff()f.答案A二、填空题3(xx株洲模拟)已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，当且仅当a4，b12时，等号成立，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，0，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明审题路线 观察前4个式子，左边的项数及分母的变化不难发现一般的不等式为1(nN*)，并用数学归纳法证明解一般结论：1(nN*)，证明如下：(1)当n1时，由题设条件知命题成立(2)假设当nk(kN*)时，猜想正确即1.当nk1时，1.当nk1时，不等式成立根据(1)、(2)可知，对nN*,1.规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【训练2】 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明(1)当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直线PQ1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此，2x1x23，即n1时结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2xk13，xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由(1)、(2)知对任意的正整数n,2xnxn10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性审题路线从特殊入手，正确计算a1，a2，a3，探求an与n的一般关系运用数学归纳法严格证明(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由、，可知对所有nN*，an都成立规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性【训练3】 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，a12111，结论成立；(2)假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，当nk1时，结论也成立由(1)、(2)知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，因此，1n1.1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写 答题模板14数学归纳法在数列问题中的应用【典例】 (12分)(xx安徽卷改编)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列规范解答(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列 (2分)必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0.