2019-2020年高一数学圆的一般方程 新课标 人教版2.doc

2019-2020年高一数学圆的一般方程 新课标 人教版2学习目标主要概念：圆的一般方程()。轨迹方程-是指点动点M的坐标满足的关系式。教材分析一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。第一板块 问题提出解读方程表示什么图形？方程表示什么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为，由于不存在点的坐标满足这个方程，所以它不表示任何图形。第二板块 探索研究解读方程在什么条件下表示圆？ 配方得。(1)当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；(2)当时，方程表示一个点； (3) 当时，方程不表示任何图形。关于的二元二次方程成为圆方程的充要条件是(1)和的系数相同且不等于0，即A=C0；(2)没有这样的二次项，即B=0；(3) 。对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。第三板块 思考交流解读1、圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？2、课本P.129例4解完后，问：与例2的方法比较，你有什么体会？ 1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。 2、让学生通过对同一个类似问题的两种解法的比较，一方面加深对解题方法的理解；另一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯拓展阅读OPxy设圆O的圆心在原点，半径是，圆O与轴的正半轴的交点是(如图)。设点在圆O上从开始按逆时针方向运动到达点P，。我们看到，点P的位置与旋转角有密切的关系。当确定时，点P在圆O上的位置也随着确定；当变化时，点P在圆O上的位置也随着变化。如果点P的坐标是，根据三角函数的定义，点P的横坐标、纵坐标都是的函数，即 ， 并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点P都在圆O上。 我们把方程组叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数。 圆心为、半径为的圆可以看成由圆心为原点O、半径为的圆按向量平移得到的。 容易求得此圆的参数方程为 ，(为参数) 相对于圆的参数方程来说，前面学过的直接给出圆上点的坐标关系的方程，叫做圆的普通方程。 在圆的有些问题中，借助于圆的参数方程，能够使问题变得容易解决。例如：已知实数满足等式，求的最值。 解：设，则 = ， 的最大值为，最小值为。网站点击 典型例题解析例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。点拨由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k的不等式。解答方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，解得当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。总结在圆的一般方程中，系数D、E、F必须满足。变式题演练若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是。答案：3例2：求经过三点A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）的圆的方程。点拨利用圆的一般方程，寻找关于D、E、F的方程组。解答设所求圆的方程为，A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2所求圆的方程为。总结待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定。一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。变式题演练已知ABC的顶点坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圆的方程。 答案：容易发现ABC 是以AC为斜边的直角三角形，故ABC外接圆应是以AC为直径的圆，ABC外接圆的方程为=0，即。例3：若实数满足，则的最大值是_。点拨因为的几何意义是表示原点到点P(x, y)的距离的平方，而点P(x, y)在圆上，故可利用几何法先求出原点到圆上的点之间的最大距离，然后再求出的最大值。解答由，得点P(x, y)在以（2,1）为圆心，半径r=3的圆C上，原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为OCr3的最大值为。总结反思本题的求解过程可看出：不管点P与圆C的位置关系怎样，点P到半径为r的圆C上的点之间的最大距离恒为PCr。同理可得，点P到半径为r的圆C上的点之间的最小距离恒为|PCr|。变式题演练已知点和圆，一束光线从点经过轴反射到圆周的最短路程是 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：D例4：已知一曲线是与两个定点O（0,0）、A（，0）（）距离的比为（）的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状。点拨利用曲线上的任一点到两个定点的距离之比为，寻找动点横坐标、纵坐标满足的条件。解答设M是曲线上的任意一点，点M到点O、A的距离之比为，化简，得且0，所求曲线的方程是，它表示一个圆。总结1、由本例可知，圆除了看作是平面内动点到定点的距离等于定长的点的轨迹外，还可以看作是动点到两个定点的距离的比为常数（常数不为1）的动点的轨迹。2、“轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特性；后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。 3、在探求点的轨迹时，可先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再从本质上分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，制订合理的解题策略。变式题演练过圆外一点Q向圆O：作割线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹。答案：设M（x，y），连OM，则OMAB，点M的轨迹为以OQ为直径的圆，弦AB中点M的轨迹方程是=0，即（），弦AB中点M的轨迹是圆弧（）。知识结构知识点图表圆的一般方程二元二次方程成为圆方程的条件圆的标准方程和一般方程的特点学法指导1、用待定系数法求圆方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于或D、E、F的方程组；(3)解出或D、E、F，代入标准方程或一般方程。2、“曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映。在解析几何的问题中，求动点的轨迹方程是一种常见题型。求动点的轨迹方程的常用方法有：（1）直接法：应用解析几何中公式，根据已知条件直接列出动点M的两个坐标之间的等量关系，从而求得动点的轨迹方程（如例3）。（2）代入法：已知点P在已知曲线上运动，动点M随着点P的变化而变化，而点P的坐标又可设法用动点M的坐标表示，那么为了要得到动点M的轨迹方程，只需把用M的坐标所表示的P点的坐标代入已知的曲线方程中，即可求出动点M的轨迹方程（如课本P.129例5）。（3）定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹所表示的曲线的类型，再利用已知曲线的方程求出所求动点的轨迹方程。如变式题演练3，因M为圆O的弦AB的中点，故OMAB，因此点M的轨迹是以OQ为直径的圆。（4）参数法：当动点M的两个坐标之间的等量关系不易直接得到时，可先引进一个中间变量（参数）分别表示动点M的横坐标、纵坐标，间接地把动点M的两个坐标联系起来，然后消去参数，求得动点M的轨迹方程。例如：过定点P引动直线分别交于A、B两点，求线段AB中点M的轨迹方程。此题中的动点M是随着的变化而变化，而又过定点P，故的变化实质是由斜率的变化而引起的，所以可引进斜率作为参数，用表示出A、B的坐标，由此用表示出M的坐标，消去参数即可得动点M的轨迹方程。答案：。求动点的轨迹方程时，要做到满足曲线方程的两个要求，防止遗留和多余。