2019-2020年高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修一、选择题1【湖北省重点高中联考协作体xx年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C。选C。点睛：函数的单调性与导函数的关系（1）若在内，则在上单调递增（减）（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解2【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B3【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B 4【河北省鸡泽县第一中学xx学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-，3）单调递减，则a的取值范围是（）A. （-6，+） B. -6，+） C. （-，-6） D. （-，-6【答案】D【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是 ，函数在 上是减函数，故要求 故 故结果为D.二、填空题5【xx学年高中数学（苏教版）选修11 阶段质量检测】若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】f(x)4x，x0，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)为增函数，依题意得1k.答案： 6【xx学年高中数学（苏教版）选修11 阶段质量检测】已知函数f(x)x3ax2x18在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，因此4a2120a，所以实数a的取值范围是答案： 7【xx学年高中数学（苏教版）选修11 阶段质量检测】若函数在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_【答案】2，)8【河南省天一大联考xx届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_【答案】【解析】在上恒成立，所以最大值令，则，当时点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题9【甘肃省会宁县第一中学xx届高三上学期第三次月考】设为实数，函数(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时， 【答案】（1）见解析；（2）见解析试题解析：（1）解：由知， 令，得.于是，当变化时， 和的变化情况如下表：0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是 在处取得极小值，极小值为 （）证明：设，于是，由（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增，于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即故10已知函数，且（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数有最值，写出的取值范围（只需写出结论）【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) 【解析】试题分析：（）求导，利用导数的几何意义进行求解；（）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（）根据前一问直接给出答案即可.（）因为，所以 . 当时，定义域为 . 且 故的单调递减区间为 5分当时，定义域为. 当变化时， ， ：x 0+0单调减极小值单调增极大值单调减故的单调递减区间为， ，单调递增区间为 综上所述，当时， 的单调递减区间为；当时，故的单调递减区间为， ，单调递增区间为 （） 11【河南省郑州市第一中学xx届高三上学期期中】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明： .【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.试题解析：（1）定义域为， 若， ， 在上单调递增若， ，所以，当时， ，当时， 综上：若， 在上单调递增；若， 在上单调递增，在上单调递减点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.12【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知函数.（1）证明：函数在区间上是减函数；（2）当时，证明：函数只有一个零点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。（2）当时， ，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。试题解析：（1）显然函数的定义域为. .， ， ，所以函数在上是减函数. 【点睛】当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减。求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。13已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）如果，在上恒成立，求的取值范围【答案】（）（）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；（） 【解析】试题分析：（）求出函数的导数，分别计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可当时， ，得，在区间上， ，在区间上， ，所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （）如果在上恒成立，即在恒成立，令， ，令，解得： ，令，解得： ，故在递增，在递减，故，故点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（）的关键.14已知，（1）写出的定义域. （2）求的单调区间.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义域求法即得（2）求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间，但要注意分a大于零和小于零的情况当时，在上；在上的递增区间为；递减区间为15【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】设， .（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围（2）由（1）知， .当a时， 单调递增.所以当时， ， 单调递减.当时， ， 单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.当时， ，由（1）知在内单调递增，可得当时， ， 时， ，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意. 16【四川省绵阳市xx届高三第一次诊断性考试】函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.【答案】（）a0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是() 证明见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（）当a0时，则在上单调递减；当时，由解得，由解得即在上单调递减；在上单调递增；综上，a0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.17【广东省兴宁市沐彬中学xx届高三上中段】若， （1）当，求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性。【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求定义域，当时， 求出 ，得到切线斜率，求出切点坐标，然后求解曲线 在点 处的切线方程（1）对分类讨论：当时，当时利用导数研究函数的单调性即可得出试题解析：定义域为（1）， ，切线方程为，即【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、单调性，其中分类讨论思想方法、推理能力与计算能力是考查的重点18【xxxx学年高中数学（苏教版）选修11 课时跟踪训练】已知函数f(x)2ax，x(0,1若f(x)在(0,1上是增函数，求实数a的取值范围【答案】1，)【解析】试题分析：若f(x)在(0,1上单调递增，则，即a在x(0,1上恒成立，令g(x)，只需ag(x)max即可.试题解析：由已知得f(x)2a，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)0，即a在x(0,1上恒成立令g(x)，而g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1)1，a1.当a1时，f(x)2.对x(0,1也有f(x)0.a1时，f(x)在(0,1上为增函数综上，f(x)在(0,1上为增函数，实数a的取值范围是1，)点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！19【xxxx学年高中数学（苏教版）选修11 课时跟踪训练】已知函数f(x)x3x2ax.讨论f(x)的单调性【答案】见解析【解析】试题分析：函数求导，根据导数大于0得增区间，导数小于0得减区间. f(x)0，f(x)是增函数20已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：本题可以先用数量积的运算计算出，在对的导数判断函数的单调性转化为在区间上恒成立，利用分离参数的思想即在区间上是恒成求出的最大值即可.点睛：导数是判断函数的单调性或者解决单调性的逆向问题很好的工具，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.21【四川省成都市龙泉第二中学xx届高三10月月考】已知，函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证： 【答案】（1）在 是增函数， 是减函数；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导，再分类讨论，分别令 可得增区间，令可得得减区间；(2)讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，以及结合函数的极值及简图即可求出的范围；（3）由，只要证明： 就可以得出结论，构造函数： ，利用导数研究函数的单调性即可证明. 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），其导数f（x）=a当a0时，f（x）0，函数在（0，+）上是增函数；当a0时，在区间（0，）上，f（x）0；在区间（，+）上，f（x）0f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数 令F（a）=32lna，则F（x）=0，F（a）在（0，1）上单调递增，F（a）F（1）=3e20，即f（）0，a的取值范围是（0，1）（3）由（2）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数分析：0，只要证明：f（）0就可以得出结论下面给出证明：构造函数：g（x）=f（x）f（x）=ln（x）a（x）（lnxax）（0x），则g（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，上为减函数0x1，则g（x1）g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）a（）+1f（x1）=g（x1）0又f（x2）=0，由（1）可知，即 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式，属于难题利用导数研究函数的单调性的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，在定义域内解不等式得的范围就是递增区间；令，在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.22【河北省定州中学xx学年高二（承智班）上学期第一次月考】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.【答案】(1) 当或时， 在上单调递增，当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2) .【解析】试题分析：（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；（2）对任意，有等价于 ，分别利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值与的最小值，解不等式即可求得实数的取值范围. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， ， .