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3 初等多值函数,2、根式函数,3、对数函数,4、一般幂函数与一般指数函数,5、具有多个有限支点的情形,6、反三角函数和反双曲函数,1、辐角函数,本节将要看到, 许多复变量的初等函数都是多值的, 在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要的意义. 因为只有在这样的讨论中才能看出函数多值性的本质.,函数多值性源于辐角函数的多值性.,本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的映射性质; 主要是采用限制辐角或割破平面的方法, 来分出根式函数与对数函数的单值解析分支. 最后, 对反三角函数及一般幂函数作简单介绍.,根据今后研究问题的需要，先介绍辐角函数，对理解辐角多值性是有益的.,1 辐角函数,一般说来，尽管起点和终点相同，但若曲线不同，其辐角改变量也不尽相同，它们要相差2.,定义2.8,为了后面讨论问题的需要，先给出如下定义.,2 根式函数,定义2.9,(1)幂函数的变换(映射)性质及其单叶性区域,(2)分出 的单值解析分支,定义,(3) 的支点及支割线,通过上面的分析可知, 在函数 的支点 或 的某邻域内, 当 沿一条包围该点的连续闭曲线绕行一周回到原处时, 函数值将发生变化.,注 1：,注 2：,注 3：,例1,解：,3 对数函数,定义2.10,(1) 复对数的定义,特殊地,例2,解,注意: 在实变函数中 “负数无对数”的说法, 在复变函数中不再成立, 但可改为“负数无实对数, 且正实数的对数也是无穷多值的”.,(2) 对数函数的基本性质,4 一般幂函数与一般指数函数,定义2.11,定义2.12,例 3,解,练习,例 4,解,5 具有多个有限支点的情形,例 5,解,(),(),(),(),例 6,解,解法一,解法二,例 7,解,6 反三角函数与反双曲函数,本段将简要介绍反三角函数与反双曲函数, 它们分别是三角函数与双曲函数的反函数.,由于三角函数与双曲函数均可由指数函数表示, 所以反三角函数与反双曲函数经常用对数函数来表示.,(1) 反三角函数,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,(2) 反双曲函数,同理可得,反三角函数与反双曲函数都是多值函数 .,这些函数分成单值解析分支的方法, 与对对数函数的讨论方法相类似, 也要讨论它们的支点. 这些函数分支都在适当割破平面后的区域内单值解析.,例 8,解,例 9,解,作业：,
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