2019-2020年高三数学 3.1导数的概念(第四课时)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 3.1导数的概念(第四课时)大纲人教版选修一、教学知识点了解导数的几何意义，函数y=f(x)在一点处的导数就是曲线y=f(x)在这点处的切线的斜率；了解导数与切线斜率的关系.二、能力训练要求1.进一步增强对导数的理解，学会求导数.2.学会通过先求函数的导数来求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法.3.进一步增强求导数，也就是求极限的能力.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力，转化问题的数学思想.2.培养学生数形结合的数学思想.教学重点导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系.教学难点导数的几何意义的理解，导数与切线斜率的关系，用图象来加深对导数的几何意义的理解.教学方法讲、练结合，以练为主.教学过程.课题导入师我们上节课学习了函数在一点处的导数，以及函数的导数的定义，用公式怎么来表示呢？(学生上黑板写)生函数y=f(x)在点x=x0处的导数函数y=f(x)的导数.师我们观察一下，函数在点x0处的导数定义的形式有什么特点呢？学生一齐回答和切线的斜率的定义形式相同.师对.我们这节课就来学习一下导数的几何意义，以及导数与切线的斜率之间的关系.讲授新课师因为函数在一点处的导数定义的形式与切线斜率的定义相同，所以函数在一点处的导数的几何意义，就是切线的斜率.导数是从代数方面讲的，切线是从几何方面讲的.板书1.导数的几何意义k=tan=f(x0)图3-4函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是f(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法(可让学生归纳)：求出函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0).得切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.师我们学习了导数的几何意义后，可以知道，由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征，反过来，由曲线在一点处的切线斜率，借助图象，能够知道曲线在这点处的导数的特征.当f(x0)0,f(x0)0，说明切线与x轴正向的夹角为锐角.f(x0)0,切线与x轴正向的夹角为锐角.f(x0)0,切线与x轴正向的夹角为钝角.f(x0)=0，切线与x轴平行.f(x0)不存在，切线与y轴平行.师下面我们来看几道例题，先求函数的导数得到切线的斜率,再来求切线方程.4.课本例题图3-5例3如图3-5所示，已知曲线上一点P(2, )，求：(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.解：，即y=x2.y|x=2=22=4.(1)点P处的切线的斜率等于4;(2)点P处的切线方程是y-=4(x-2)，即12x-3y-16=0.师先求y,要求哪一点的切线的斜率，只要将横坐标代入到y中去，就可以了，这样可以求曲线上任一点的切线方程.例4已知曲线上一点P(2，)，求点P处的切线方程.学生板演解：,即.点P处的切线方程是,即15x-4y+8=0.5.精选例题例1曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标.师生共析求f(x)的导数f(x)，根据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标.解：f(x)=x3+2x+1，=3x2+2.f(x)=3x2+2=2,x=0.又f(0)=1,M的坐标为(0，1).例2抛物线y=x2上P点处的切线与直线3x-y+1=0的交角成45，求P点坐标.学生分析要求P点坐标，可以根据题意，把P点处切线的斜率算出来，这样就转化成例1的问题了.学生板演解：设切线的倾斜角为,直线的倾斜图3-6角为,3x-y+1=0,y=3x+1.tan=3(4590).若-=45,tan=-2.若-=45,.y=x2,.当tan=-2时，2x=-2,x=-1，y=(-1)2=1,P点坐标为(-1，1).当时，,P点坐标为().师这里面要注意的是：tan=3,可以粗略地判断(45,90),图3-7切线的倾斜角可能比大，也可能比小.从图象上可以知道，与一条直线的夹角是45的直线有两条,要考虑两种情况.如果45时，也应该考虑两种情况：-=45,-=135.用数形结合的方法进行考虑.例3(xx年扬州市高考模拟题第22题)由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续地作下去,得到点列Pn(xn,yn)，试回答下列问题：(1)求x1;(2)求xn与xn+1的关系；(3)当a0时，求证：当n为正偶数时有xna,当n为正奇数时有xna.师生共析过Pn(xn,yn)的切线的斜率kn=f(xn)，利用点斜式写出直线方程.又由于点Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上，所以坐标满足方程.于是建立xn与xn+1的递推关系.对于第(1)问,设P0(x0,y0)即为P0(0，0).因为原点也在曲线上，于是应该满足递推关系，求出x1.利用递推数列的知识求解xn的通项公式，最后运用分类思想给予证明.生解：(1)原点(0，0)，kn=f(xn)，f(x)=x3-3ax2+bx,f(x)=3x2-6ax+b，f(xn)=3xn2-6axn+b.k1=f(x1)=3x12-6ax1+b.过P1的切线l1的方程为y-f(x1)=f(x1)(x-x1).l1过点O(0，0)，-f(x1)=f(x1)(0-x1).x13-3ax12+bx1=(3x12-6ax1+b)x1.又x10，x12-3ax1+b=3x12-6ax1+b.2x12-3ax1=0.又x10，.(2)过Pn的切线ln的方程为y-f(xn)=f(xn)(x-xn),又ln过点Pn-1(xn-1,yn-1),f(xn-1)-f(xn)=f(xn)(xn-1-xn).xn-13-3axn-12+bxn-1-xn3+3axn2-bxn=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).(xn-13-xn3)-3a(xn-12-xn2)+b(xn-1-xn)=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).又xn-1xn,xn-12+xnxn-1+xn2-3a(xn+xn-1)+b=3xn2-6axn+b,xn-12+xnxn-1-2xn2+3a(xn-xn-1)=0.(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0.xn-1+2xn-3a=0,即.同理.(3),xn+1-a=-(xn-a).数列xn-a是等比数列，且公比为-，首项为a.xn-a=a(-)n-1.xn=a-a(-)n.当n为正偶数时，xn=a-a()na;当n为正奇数时，xn=a+a()na.课堂练习设曲线与曲线在它们的交点处的两切线夹角为,求tan.师生共析解这道题的第一步是求出交点，第二步求两曲线在交点处切线的斜率，根据斜率，可知倾斜角，再求tan.解：交点为(1，1).,.y|x=1= =-2=tan.90180.,y|x=1= =-1=tan.90180.tan=-2,tan=-1,0,f(x)0;f(x0)0;f(x0)=0;f(x0)不存在.课本例题例3.已知曲线上一点P(2，)，求：(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.例4.已知曲线上一点P(2，)，求点P处的切线方程.精选例题例1.曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标.例2.抛物线y=x2上P点处的切线与直线3x-y+1=0的交角成45，求P点坐标.例3.课堂练习设曲线与曲线在它们的交点处的两切线夹角为，求tan.课时小结课后作业