单自由度体系的自由振动.ppt

1,10-2 单自由度体系的自由振动,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,I,I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,自由振动反映了体系的固有动力特性。,2,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究方法及要解决的问题包括：,1、建立振动方程 2、求解振动方程 3、计算自振频率、周期,3,一、运动微分方程的建立,原理：达朗伯原理,刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。,k,单自由度体系自由 振动的微分方程,4,二、自由振动微分方程的解,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2由初始条件确定,设 t=0 时,5,由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,c式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定,振幅,相位角,令,6,7,三、结构的自振周期和频率,由式,及图可见位移方程是一个周期函数。,周期,工程频率,园频率,计算频率和周期的几种形式,频率和周期的讨论,1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；,2.与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；,3.是结构动力特性的重要数量标志。,8,例1. 计算图示结构的频率和周期。,例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。,例3.计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡,9,例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,10,四、简谐自由振动的特性,由式,可得，加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,惯性力为：,11,例5. 计算图示体系的自振频率。,解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：,建立力矩平衡方程,化简后得,12,作业 13-3，13-4,