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第一节 单因素试验的方差分析,在第八章第二节中，我们讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较的假设检验问题，而在实际应用中还经常需要对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的假设检验问题.方差分析就是解决这类问题的有效方法，在实际中有着广泛的应用。,（一）单因素试验,（二）平方和的分解,（四）假设检验问题的拒绝域,（三） 的统计特性,（五）未知参数的估计,（一）单因素试验 1. 基本概念,我们将要考察的指标称为试验指标，影响指标的条件称为因素，因素所处的状态称为该因素的水平.,若一项试验中只有一个因素在改变，称这样的试验为单因素试验.多于一个因素在改变的的试验为多因素试验.,2.单因素方差分析的数学模型,设在单因素试验中，影响指标的因素A 有 s 个水平A1， A2 ，As ，将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部分总体，仍记为Aj ，则共有s个总体，假设,假设前提：,2）部分总体的方差都相等，即：,1）每个部分总体都服从正态分布，即：,3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。,在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本,则,记 称其为随机误差，则,由此得：,单因素方差分析的数学模型:,各个随机误差 相互独立， 和 未知.,单因素试验表,（1）检验假设：,不全相等.,（2）求出未知参数 和 的估计量,单因素方差分析的任务:,根据样本提供的信息，,假设等价于,(二) 平方和的分解,单因素方差分析法是将样本全部偏差的平方和分解成两个平方和，通过这两个平方和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒绝域.,偏差平方和及其分解,总平方和：,效应（组间）平方和：,说明：,SA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，称SA是因子A的效应（组间）平方和.,误差（组内）平方和：,平方和分解公式：,说明：,SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是误差（组内）平方和.,证明：,又,所以,即：,总平方和=效应（组间）平方和+误差（组内）平方和,在单因素方差分析的模型下，,（2）SA 和 SE 相互独立。,定理：,（1）,（三）SA和 SE 的统计特征,由定理（1），有,即,结合定理(1)(2)(3)，有,ST ，SA ，SE 的计算方法,记,化简得,（四）单因素方差分析的假设检验：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）构造检验统计量,（3）拒绝域：,说明：如果组间差异比组内差异大得多，则说明各水平间有显著差异，H0不真。,单因素方差分析的假设检验的步骤：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）编制单因素试验数据表,（3）根据数据表计算,（4）填制单因素方差分析表,单因素方差分析表,（5）检验，若,否则接受H0 ，认为因子A对指标没有显著影响.,则拒绝H0，,（五）未知参数的估计,前面已说明：,又,所以,可以证明，,
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