2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛.doc

2019-2020年高考数学 平面几何例讲解答竞赛基本内容：五心性质；共点线与共线点；共圆点；托勒密定理；西摩松定理；斯特瓦特定理；面积方法；几何变换；根轴与反演。1、如图，四边形中，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证：易知，四边形共圆，共圆，因此，.即平分；又由共圆，得，即平分.设于，于，于，过点作，交于，交于；过点作，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，.为证，只要证 .由平行线的比例性质得，因此 ，由于与的对应边平行，且平分，故是的平分线.从而 ，即所证结论成立.2、在中，,内心为，内切圆在边上的切点分别为、, 设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.证：设直线交的外接圆于点，易知是的中点。记的中点为，则设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又，所以，且相似比为2，熟知；。又，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上3、如图，中，分别是边 上的点，在的延长线上分别取点，使 ；点分别是，的垂心.证明：.证：如图，设线段的中点分别为，则也是的中点，据中位线知，在中，；在中，即，所以:，且，.为证，只要证. 以为圆心，为直径作，其半径记为；以为圆心，为直径作，其半径记为，设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 另一方面，由于可知，在上，在上，从而，因此化为，即 又设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 再由 可知，在上，在上，从而，因此化为，即 据、得，所以 ，而，所以.4、如图，O1、O2、O3分别外切O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与ABC的两条边相切.求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）.记，对于，因为O与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设为.同理可设，直线 .只须证重合.直线截于，由梅尼劳斯定理，即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，从而，故 ，所以，因此共点，即交于一点.5、四边形内接于，是的切线（为切点）；证明：三线共点证明：以为基本线，设，只要证，共点；因为，只要证，即要证，；因为,故分别得到，；所以，因此结论得证6、四边形内接于，是的切线（为切点）；证明：（）四点共线；（）是的垂心证明：（）、据上题，三点共线，只要证，点在上，以为基本线，且设；则，；只要证，即要证，即 因为,则 ，；相乘得，故结论得证（）因是的切线，则垂直平分，而四点共线，则，据的对称性，有（因为，若自引的切线，类似可得，共线，垂直平分，所以）；因此，点为的垂心（同时，点也是的垂心）7、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且，；若分别是的中点；证明：证：如图，延长，分别与交于，注意关于顶点的等高性及等角性，由面积比定理，（记号表示面积），所以 又由，得 ，所以 ，由、得，即 取的中点，据中位线知，,由，作角分线，则，因，所以其角分线，因，得8、已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，延长交于；则，即；过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；设，则是的中点，连，则，所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，而，所以，点是的内心）即弦与相切9、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点是的内心证：先证引理：若内切于，的弦切于，延长交于，则是的中点，且如图，作两圆的公切线，因是的切线，则，而，所以，即是的中点，又由:，得到回到本题，设，分别切于，切于，据引理知直线过的中点，则，而，所以，故在，的根轴上，即在内公切线上，所以与重合，即是的中点，故平分；又由，得，于是 ，即，而，所以，因此平分，从而是的内心10、锐角三角形中，在边上分别有动点，试确定，当取得最小值时的面积解：对于任一个内接，暂将固定，而让在上移动，设的中点为，则由中线长公式，因此在固定后，欲使取得最小值，当使达最小，但是为上的定点，则当时，达最小，再对作同样的讨论，可知，当取得最小值时，的三条中线必定垂直于三角形的相应边；今设重心为，面积为，的面积为，则 由于分别共圆，则，故由，同除以，得，所以，又由，即，所以，因而（其中）11、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，又因，则. 作于，则有，且，所以，故得 ，因此，是的中位线，从而 ，而，则.故为直角三角形证二：记，因是的中垂线，则，由条件 延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形12、试证费尔巴赫定理： 三角形的内切圆，内切于其九点圆；而其三个旁切圆皆与九点圆相外切证：若为等腰三角形，显然其内切圆在底边中点处与九点圆内切；只须考虑的三边不等时的情况，如图所示，设边的中点分别为，内切圆切这三边于，过作的切线交于，为切点，连，则点关于线对称，所以，作于，连，设，是的中位线，因，所以 ，又由，得，因，则共圆，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圆，而在中，所以 因中位线，是直角三角形的斜边中点，则，在中，得 ，由得，故共圆，而过点、的圆即是的九点圆，即在九点圆上，因此是的内切圆与九点圆的公共点； 再证，这两圆在点处相切：过作内切圆的切线（点和点在直线的同侧），与同是的切线，则，因共圆，故，从而与的外接圆相切于点，即与的九点圆相切于点所以是两圆的公切线，因此三角形的内切圆，内切于其九点圆（用类似的方法可证得旁切圆与九点圆相切采用结构转换方法，先将旁切圆情形下的相应点的符号以及辅助线仿照内切圆情况给出，再将证明移植） 今考虑旁切圆情况，不妨设，为边外的旁切圆，为的中点，若，则显然与九点圆切于的中点；若，如图，设切于，角分线，于，过作的切线，交于，为切点，连，则垂直平分，所以；是的中位线，又因， 所以 ，又由，得，因，则共圆，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圆，因为中位线，而是直角三角形斜边的中点，所以，故得，所以共圆， 而过点、的圆即是的九点圆，即在九点圆上，因此是的旁切圆与九点圆的公共点； 再证，这两圆在点处相切：过作旁切圆的切线（在切线上，取点和点在直线的同侧，取点和点在直线的异侧），与同是的切线，则，因共圆，得，所以，即，从而与的外接圆相切于点，即与的九点圆相切于点所以是两圆的公切线，因此三角形的旁切圆，外切于其九点圆