2019-2020年高考数学 专题23 数列通项公式的求解策略黄金解题模板.doc

2019-2020年高考数学 专题23 数列通项公式的求解策略黄金解题模板【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。【方法点评】方法一 数学归纳法解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例1 若数列的前n项和为，且方程有一个根为1，n=1,2,3.(1) 求 ；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明试题解析：解：（1） （2）由知代入（）【变式演练1】已知数列满足，求数列的通项公式。由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。【变式演练2】把数列（）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数， 进行摆放，即（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），（45，47），则第104个括号内各数之和为（ ）A2072 B2060 C2048 D2036【答案】A 【解析】试题分析：该摆放具有周期性，周期为4，即一个周期内有4个括号，而第104个括号位于第26个周期内， 又第一个周期中最后一个数为21，第二个周期最后一个数为41，第三个周期最后一个数为81，易知每个周期的最后一个数依次构成以21为首项，公差为20的等差数列，由此可得第104个括号内的最后一个数为521，由此得第104个括号内的四个数为515、517、519、521. 考点：归纳推理的应用。方法二 法使用情景：已知解题模板：第一步 利用满足条件，写出当时，的表达式； 第二步 利用，求出或者转化为的递推公式的形式； 第三步 根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.例2 在数列中，已知其前项和为，则_【答案】【变式演练3】已知数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【解析】试题分析：，再令，数列是以4为首项，2为公比是等比数列，故选A. 考点：本题主要考查数列的通项公式.【变式演练4】在数列中，（1）求数列的通项；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.【答案】（1）；(2) 方法三 累加法使用情景：型如或解题模板：第一步 将递推公式写成； 第二步 依次写出，并将它们累加起来； 第三步 得到的值，解出； 第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例3 数列满足，对任意的都有，则（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B【变式演练5】在数列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通项公式。【答案】【变式演练6】已知数列an满足a1，an1an，求an.【答案】方法四 累乘法使用情景：型如或解题模板：第一步 将递推公式写成； 第二步 依次写出，并将它们累加起来； 第三步 得到的值，解出； 第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例4 已知数列满足【答案】【变式演练7】已知数列中，=1，（n，则数列的通项公式为（ ） A BC D【答案】C【解析】试题分析：,即故C正确考点：1累乘法求通项公式；2等差数列的前项和方法五 构造法一使用情景：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an1tp(ant)； 第二步 由待定系数法，解得； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式.例5 已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式。【答案】= 【变式演练8】如题图，已知点为的边上一点，为边上的列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以设，则由，得，所以，所以因为，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，故选D考点：1、向量的加减运算；2、等比数列的定义及通项公式【变式演练10】已知数列an中，a11，an12an3，求an.【答案】an2n13.方法六 构造法二使用情景：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为； 第二步 由待定系数法，求出的值； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式.例6 已知数列满足，求数列的通项公式。【答案】为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。例7 已知数列中的分别为直线在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为 【答案】.【解析】试题分析：由已知得：，已知条件可化为，设，可化为：，则，解得：，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则两边同时除以转化为：，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以考点：1.等比数列的通项公式；2.构造等比数列【方法点晴】本题主要考察的是等比数列的通项公式和根据递推数列构造等比数列，属于难题本题两次构造等比数列，首先设，再根据已知条件确定的值，构造数列为等比数列；第二，根据，两边同时除以得数列为等比数列，从而得解因为两次构造等比数列，做题过程中要注意认真计算，否则容易出现错误【变式演练11】 设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求an.【答案】an23nn1.【变式演练12】已知数列中，函数（1）若正项数列满足，试求出，由此归纳出通项，并加以证明；（2）若正项数列满足（nN*），数列的前项和为Tn，且，求证：【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由递推公式依次可求得，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式变形为，则数列是等比数列；（2）要与（1）进行联系，首选函数，因此在上是增函数，可妨（1）进行归纳，也可把变形为，由累乘证明如下：，数列是以1为首项、为公比的等比数列，；（2）（nN*），累乘得：，即， 考点：归纳法，等比数列的公式，累乘法，放缩法证明不等式方法七 构造法三使用情景：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 在递推公式两边同除以，得； 第二步 利用方法五，求数列的通项公式； 第三步 写出数列通项公式.例7 已知数列满足，求数列的通项公式。【答案】例8 已知数列满足，求数列的通项公式。【答案】【变式演练13】已知数列an中，a1，an1ann1，求an.【答案】bn32n，an3n2n. 【解析】法一：在an1ann1两边乘以2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1， 方法八 构造法四使用情景：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 假设将递推公式改写成； 第二步 利用待定系数法，求出的值；第三步 求数列的通项公式； 第四步 根据数列的通项公式，求出数列通项公式.例9 数列中，求数列的通项公式。【答案】【变式演练14】已知数列满足（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式；【答案】见解析方法九 构造五使用情景：型如（其中为常数）解题模板：第一步 将递推公式两边取倒数得； 第二步 利用方法五，求出数列的通项公式；第三步 求出数列通项公式.例10 已知数列满足求数列的通项公式。【答案】【变式演练15】已知数列an的首项a1，an1，n1,2,3，求an的通项公式【答案】an.【解析】an1，方法十 构造六使用情景：型如解题模板：第一步 对递推公式两边取对数转化为； 第二步 利用方法五，求出数列的通项公式；第三步 求出数列通项公式.例11 若数列中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。【变式演练16】已知数列an中，a11，an1 a(a0)，求数列an的通项公式【答案】所以bncnlg2n1lglglglga，即lg anlga，所以.【高考再现】1.【xx高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2. 【xx高考浙江理数】设数列an的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，则a1= ，S5= .【答案】 【解析】试题分析：，再由，又，所以考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误3.【xx全国III文，17】设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先由题意得时，再作差得，验证时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和.【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.4.【xx高考新课标文数】已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（II）求的通项公式.【答案】（）；（） 5.【xx高考山东理数】已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；【答案】（）.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 6. 【xx高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）首先利用公式，得到数列的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（）利用（）前项和化为的表达式，结合的值，建立方程可求得的值（）由（）得，由得，即，解得考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解7.【xx高考福建，文17】等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设，求的值【答案】（）；（）【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法【名师点睛】确定等差数列的基本量是所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）8.【xx高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和.【答案】（I）; （II）.【考点定位】1、数列前 项和 与通项 的关系；2、特殊数列的求和问题.【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.9. 【xx高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且（）求数列的通项公式；（）设为数列的前n项和，求数列的前n项和.【答案】（）（） 【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】本题利用“若，则”，是解决本题的关键，同时考生发现是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.10.【xx高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 11.【xx高考天津，理18】已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.【答案】(I) ; (II) .【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.12.【xx高考重庆，理22】在数列中，（1）若求数列的通项公式； （2）若证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】若存在某个，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意,.从而，即是一个公比的等比数列.故.求和得另一方面，由上已证的不等式知得综上：【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大13.【xx高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有与间的关系，都是考虑消去或（多数时候是消去，得与间的递推关系）.在本题中，得到与间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.14.【xx高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前项和 【答案】（）或；（）. -可得，故. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列15.【xx高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列和满足，.（1）求与；（2）记数列的前n项和为，求.【答案】(1)；(2)【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力.【反馈练习】1【广东省中山市第一中学xx学年高二上学期第二次统测数学（理）试题】在数列1，2， ， ， ，中， 是这个数列的第（ ）A. 16项 B. 24项 C. 26项 D. 28项【答案】C【解析】 数列可化为 ， 所以， 所以，解得，所以是这个数列的第项，故选C2【江苏省常州市xx届高三上学期武进区高中数学期中试卷（理）】已知数列中， ，对都有成立，则的值为_.【答案】 3【广东省中山市第一中学xx学年高二上学期第二次统测数学（理）试题】若数列的前项和，则它的通项公式为_【答案】【解析】由题意得，当时， ，当时， ，所以数列的通项公式为4【广西玉林、贵港市xx届高三下学期质量检测考试数学（理）试题】已知数列中， ， （）.（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和为.【答案】（1）（2） 5【安徽省淮北市第一中学xx学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知数列满足，且（且）.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项之和，求证： .【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）an=2an1+2n（2，且nN*），数列是以为首项，1为公差的等差数列； ；（2）Sn=，2Sn=，两式相减可得Sn=1+22+23+2n=（32n）2n3，Sn=（2n3）2n+3（2n3）2n 5【安徽省阜阳市太和中学xx学年高二上学期期中考试数学（文）试题】已知各项均为正数的数列满足，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为，对任意的，总有，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 实数的取值范围是.【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，不等式恒成立问题，属于难题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.6【安徽省阜阳市太和中学xx学年高二上学期期中考试数学（文）试题】（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2) 7【重庆市第一中学xx届高三11月月考数学（理）试题】已知数列的前项和为，且满足： ， ， （）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】(1) ;(2) 8【天津市耀华中学xx届高三上学期第二次月考数学（理）试题】已知曲线： ， ： （），从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点.设， ， .（）求数列的通项公式；（）记，数列的前项和为，求证： ；（）若已知（），记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析.试题解析：（1）依题意点的坐标为，.（2），所以： ，当时， ， （当时取“”）. 9【福建省闽侯县第八中学xx学年高二上学期期中数学（理）试题】已知函数，数列满足， .（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，若对一切正整数都成立，求最小的正整数的值.【答案】() ；()xx.【解析】试题分析：（）因为 所以的前项和为 令，解得又，最小的正整数的值为xx.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的10【天津市第一中学xx届高三上学期第二次月考数学（理）试题】已知数列满足，且.(1)求 的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，证明： 【答案】（1）（2）（3）详见解析（2）(3) 为奇 为偶11【湖北省八校xx届高三上学期第一次联考（12月）数学（理）试题】已知数列满足.（1）求证是等比数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）由（1）可得， ， 是首项为，公差为的等差数列， .12【河南省平顶山市郏县第一高级中学xx学年高二上学期第三次月考数学（文）试题】已知数列的各项均为正数， 是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求的值.【答案】（1） （2） （2） 又