2019-2020年高二下学期开学数学试卷（文科） 含解析.doc

2019-2020年高二下学期开学数学试卷（文科） 含解析一、选择题（每小题3分，共24分）1“x=0”是“（2x1）x=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2命题“xR，exx2”的否定是（）A不存在xR，使exx2Bx0R，使ex0x02Cx0R，使ex0x02DxR，使exx23某学生记忆导数公式如下，其中错误的一个是（）A（xn）=nxn1（nN+）B（ax）=axlnaC（sinx）=cosxD（lnx）=4“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则ABF2的周长为（）A10B20C2D46已知抛物线x2=4y的准线过双曲线y2=1的焦点，则双曲线的离心率为（）ABCD7设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）AB或2C 2D8已知抛物线C：y=ax2（a0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=，那么m=（）ABC2D3二、填空题（每小题4分，共24分）9设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为10双曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为211设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是12已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为13已知椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：x2=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b=14已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为三、解答题（共60分）15已知直线l1的方程为3x+4y12=0，（1）求l2的方程，使得：l2与l1平行，且过点（1，3）；l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程16三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACB是直二面角，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且ABC=90，O为AC的中点（1）若E是BC1的中点，求证：OE平面A1AB（本小题用两种方法）；（2）求二面角AA1BC1的余弦值17已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（I）求圆A的方程；（）当时，求直线l的方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由18四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离19设F1，F2分别是椭圆=1（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|=8，PF1F2的周长为12（）求椭圆的方程；（）求的最大值和最小值；（）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由四、提高题（共12分）20设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）当a=3时，求函数f（x）的极值；（）当a1，讨论函数f（x）的单调性；（）对任意x1，x2（0，+），且x1x2，有2+a恒成立，求a的取值范围xx天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1“x=0”是“（2x1）x=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：由（2x1）x=0，解得x=0或x=，则“x=0”是“（2x1）x=0”的充分不必要条件，故选：A2命题“xR，exx2”的否定是（）A不存在xR，使exx2Bx0R，使ex0x02Cx0R，使ex0x02DxR，使exx2【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，exx2”的否定是x0R，使ex0x02故选：C3某学生记忆导数公式如下，其中错误的一个是（）A（xn）=nxn1（nN+）B（ax）=axlnaC（sinx）=cosxD（lnx）=【考点】导数的运算【分析】根据常用导数的基本公式即可到答案【解答】解：根据导数的基本公式，可知（sinx）=cosx，故C错误，故选：C4“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1m3且m2，此时1m3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1m3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件即充分性不成立故“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B5已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则ABF2的周长为（）A10B20C2D4【考点】椭圆的简单性质【分析】根据：椭圆+=1，得出a=，运用定义整体求解ABF2的周长为4a，即可求解【解答】解：椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，a=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4故选：D6已知抛物线x2=4y的准线过双曲线y2=1的焦点，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由抛物线x2=4y得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点和c，再利用离心率计算公式即可得出【解答】解：由抛物线x2=4y得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点为（0，），c=双曲线y2=1化为y2=1，a=1，双曲线的离心率e=故选：C7设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）AB或2C 2D【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e=，若曲线为双曲线则，2a=4t2t=2t，a=t，c=te=故选A8已知抛物线C：y=ax2（a0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且x1x2=，那么m=（）ABC2D3【考点】抛物线的简单性质；与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】先确定抛物线方程，设出直线AB方程代入抛物线方程，求出AB中点坐标，即可求得m的值【解答】解：抛物线C：y=ax2（a0）可化为（a0）抛物线C：y=ax2（a0）的焦点到准线的距离为，a=2y=2x2，C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，直线AB斜率为1，设直线方程为y=x+b与y=2x2联立得2x2+xb=0，b=1x1+x2=，y1+y2=，AB中点坐标为（，）代入y=x+m得m=故选A二、填空题（每小题4分，共24分）9设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解【解答】解：由题意作图如下，令y=1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d=；故答案为：10双曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求导数，确定切线方程，可得与坐标轴的交点坐标，再求面积即可【解答】解：y=，y=设曲线y=上任一点（a，），则切线方程为y=（xa）x=0时，y=，y=0时，x=2a，曲线y=上任一点的切线与坐标轴围成的面积为|2a|=2故答案为：211设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，RtPF1F2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为（ab0），设点P（c，h），则=1，h2=b2=，|h|=，由题意得F1PF2=90，PF1F2=45，RtPF1F2 中，tan45=1=，a2c2=2ac， =1故答案为：12已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积【解答】解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为半径为原几何体的体积为=故答案为：13已知椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：x2=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b=【考点】椭圆的简单性质【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论【解答】解：由题意，C2的焦点为（，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2aC1的半焦距c=，于是得a2b2=5 设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以 由得a2=11b2 由得a2=，b2=所以b=，故答案为：14已知抛物线y2=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为【考点】抛物线的简单性质【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程3x220x+12=0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论【解答】解：由题意，直线l方程为：y=（x2）代入抛物线y2=8x整理得：3x212x+12=8x3x220x+12=0设B（x1，y1）、C（x2，y2）x1+x2=弦BC的中点坐标为（，），弦BC的中垂线的方程为y=（x），令y=0，可得x=，P（，0），A（2，0），|AP|=故答案为：三、解答题（共60分）15已知直线l1的方程为3x+4y12=0，（1）求l2的方程，使得：l2与l1平行，且过点（1，3）；l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【分析】（1）利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），即可求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=1，y=3代入，得3+12+m=0，即得m=9，直线l2的方程为3x+4y9=0由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x3y+n=0，令y=0，得x=，令x=0，得y=，故三角形面积S=4得n2=96，即n=4直线l2的方程是4x3y+4=0或4x3y4=0（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），设内切圆的圆心坐标为（a，a），则，a=，三角形OAB（O为坐标原点）内切圆的方程为（x）2+（y）2=；外接圆的圆心坐标为（2，1.5），外接圆的方程为（x2）2+（y1.5）2=6.2516三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACB是直二面角，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且ABC=90，O为AC的中点（1）若E是BC1的中点，求证：OE平面A1AB（本小题用两种方法）；（2）求二面角AA1BC1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）证法一：连接AB1，B1C，B1CBC1=E利用三角形中位线定理可得：OEAB1，再利用线面平行的判定定理即可证明OE平面A1AB证法二：取BC的中点F，连接EF，OF，在ABC中，由三角形中位线定理可得：OFAB，可得OF平面A1AB同理可得：EF平面A1AB可得平面OEF平面A1AB即可证明OE平面A1AB（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角【解答】（1）证法一：连接AB1，B1C，B1CBC1=E则OE是AB1C的中位线，OEAB1，又OE平面A1AB，AB1平面A1AB，OE平面A1AB证法二：取BC的中点F，连接EF，OF，在ABC中，由三角形中位线定理可得：OFAB，又OF平面A1AB，AB1平面A1AB，OF平面A1AB同理可得：EF平面A1ABOFEF=F，OF，EF平面OEF，平面OEF平面A1ABOE平面OEF，OE平面A1AB（2）解：连接A1O，OBAA1=A1C=AC，AA1C是等边三角形，OA=OC，A1OAC又AB=BC，OBACA1ACB是直二面角，A1OB=如图所示，建立空间直角坐标系O（0，0，0），A（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，），=（1，1，0），=（1，0，），=（1，2，），设平面AA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取=设平面A1BC1的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，取=cos=由图可知：二面角AA1BC1的平面角为钝角，因此二面角AA1BC1的余弦值为17已知以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点B（2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P（I）求圆A的方程；（）当时，求直线l的方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程【分析】（）设出圆A的半径，根据以点A（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（）由直线l过点B（2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论【解答】解：（）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，圆A的方程为（x+1）2+（y2）2=20（） 当直线l与x轴垂直时，易知x=2符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kxy+2k=0，连接AQ，则AQMN，则由，得，直线l：3x4y+6=0故直线l的方程为x=2或3x4y+6=0（）AQBP，当l与x轴垂直时，易得，则，又，当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），则由，得P（，），则综上所述，是定值，且18四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点C到平面AED的距离【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AOOC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则MEAB，OECD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，运用解直角三角形，即可得到；（3）设点C到平面AED的距离为h，由VCAED=VACDE，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C到平面AED的距离【解答】（1）证明：连接OC，已知O为BD中点，AB=AD=，AC=BC=CD=BD=2，故AOBD，COBD，所以OA=1，OC=，在AOC中，OA2+OC2=4=AC2，所以AOC=90，则AOOC，又AOBD，BDOC=O，故AO平面BCD（2）解：取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则MEAB，OECD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，在OME中，EM=，OE=，又OM为RtAOC的斜边AC上的中线，故OM=1，所以cosOEM=，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （3）解：（体积法）设点C到平面AED的距离为h，因为VCAED=VACDE，即有hSAED=AOSCDE，又CA=BC=2，AB=，设AE=x，则由余弦定理有cosABC=，即有AE=，AED为等腰三角形，而DE=，等腰三角形AED底边上的高为，故AED的面积为SAED=则而AO=1，SCDE=，故h=，点E到平面ACD的距离为19设F1，F2分别是椭圆=1（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|=8，PF1F2的周长为12（）求椭圆的方程；（）求的最大值和最小值；（）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）利用|PF1|+|PF2|=8，PF1F2的周长为12，可得2a=8，2a+2c=12，从而可求椭圆的方程；（2）由（1）知F1（2，0），F2（2，0），设P（x，y），则=（2x，y）（2x，y）=x2+y24=，根据x4，4，可得x20，16，从而可求的最大值和最小值；（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x8），与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BTCD，从而可建立方程，故可解【解答】解：（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，a=4，c=2，b2=a2c2=12，椭圆的方程为；（2）由（1）知F1（2，0），F2（2，0），设P（x，y），则=（2x，y）（2x，y）=x2+y24=x4，4，x20，16，当且仅当点P为短轴端点时，有最小值8；点P为长轴端点时，有最大值12（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x8）由方程组，消元得（4k2+3）x264k2x+16（16k23）=0过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，=642k464（4k2+3）（16k23）0设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）x1+x2=，T（）|BC|=|BD|，BTCD，方程无解不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|四、提高题（共12分）20设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）当a=3时，求函数f（x）的极值；（）当a1，讨论函数f（x）的单调性；（）对任意x1，x2（0，+），且x1x2，有2+a恒成立，求a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）当a=3时，f（x）=x2+3xlnx（x0）f（x）=2x+3=分别解出f（x）0，f（x）0，研究函数f（x）的单调性，即可得出极值（）当a1时，f（x）=，对a分类讨论：当a=2时，当1a2时，当a2时，即可得出单调性；（）假设存在a满足题意，不妨设0x1x2，由2+a恒成立，可得f（x2）ax22x2f（x1）ax12x1，令g（x）=f（x）ax2x，则g（x）=，则g（x）在（0，+）上单调递减，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（）当a=3时，f（x）=x2+3xlnx（x0）f（x）=2x+3=当x1时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当0x或x1时，f（x）0，函数f（x）单调递减f（x）极大值=f（1）=2，f（x）极小值=（）当a1时，f（x）=，当a=2时，f（x）=0，函数f（x）在x0时单调递减；当1a2时，令f（x）0，解得0x1或，此时函数f（x）单调递减；令f（x）0，解得1x，此时函数f（x）单调递增当a2时，令f（x）0，解得0x或x1，此时函数f（x）单调递减；令f（x）0，解得x1，此时函数f（x）单调递增综上可得：当1a2时，f（x）在x（0，1）或）单调递减；f（x）在上单调递增当a=2时，函数f（x）在（0，+）上单调递减当a2时，f（x）在或（1，+）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增（）假设存在a满足题意，不妨设0x1x2，由2+a恒成立，可得f（x2）ax22x2f（x1）ax12x1，令g（x）=f（x）ax2x，则g（x）=，由题意可知：g（x）在（0，+）上单调递减g（x）=（1a）x20，化为在（0，+）上恒成立，a1xx10月10日