2019-2020年高中数学 椭圆的几何性质知识精讲 文 苏教版选修1-1.doc

2019-2020 年高中数学 椭圆的几何性质知识精讲 文 苏教版选修 1-1 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形， 并了解椭圆的一些实际应用 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关 系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用 难点：椭圆离心率的概念的理解 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即| x| a，| y| b，这说明椭圆在直线 x a 和直线 y b 所围成的矩 形里注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点 （2）对称性 把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、 y 同时换成 x、 y 时，方程都不变，所以 图形关于 y 轴、 x 轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令 x0，得 y b，点 B1（0， b） 、 B2（0， b）是椭圆和 y 轴的两个交点； 令 y0，得 x a，点 A1（ a，0） 、 A2（ a，0）是椭圆和 x 轴的两个交点椭圆有四个 顶点 A1（ a，0） 、 A2（ a，0） 、 B1（0， b） 、 B2（0， b） 线段 A1A2、线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和 2b； a、 b 的几何意义： a 是长半轴的长， b 是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率 e 的取值范围： a c0， 0 e1 当 e 接近 1 时， c 越接近 a，从而 b 越接近 0，因此椭圆越扁； 当 e 接近 0 时， c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因此椭圆接近圆； 当 e0 时， c0， a b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为 x2 y2 a2，图形就是圆 了 2、性质归纳为如下表： 标准方程 图像 y x F1 O A1 B1 B A2 F2 y x F1 OA1 B1 B2A2 F2 范围 ， ， 对称性 关于 x 轴、 y 轴均对称，关于原点中心对称 顶点坐标 长轴端点 A1（ a，0） ， A2（ a，0） ；短轴端点 B 1（0， b） ， B2（0， b） 长轴端点 A1（0， a） ， A2（0， a） ； 短轴端点 B1（ b，0） ， B2（ b，0） 焦点坐标 F1（ c，0） ， F2（ c，0） F1（0， c） ， F2（0， c） 半轴长 长半轴长： a，短半轴长： b 焦距 2c a， b， c 关系 离心率 【典型例题】 例 1. 求椭圆 16x225 y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描 点法画出它的图形 解：（1）列表。将 254165x变 形 为 ，根据在第一象限的范围内算 出几个点的坐标（ x， y） （2）描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画 出整个椭圆 OF2F1 例 2. 若椭圆的离心率为 e，求实数 k 的值。 解：当焦点在 x 轴上时，有得 k8. 当焦点在 y 轴上时，有得 k. 所求的 k8 或。 例 3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上点的距离的最小值为，求椭圆的方程。 解： 22231199acaxyx所 求 的 椭 圆 方 程 为 或 所求的椭圆方程为 1或 例 4. 椭圆（ ab0）上一点 M 与两焦点 F1， F2所成的角 F1MF2 ，求证 F1MF2的面 积为 b2tan. 解：设 M F1 m， M F2 n， 则 m n2 a，且 4c2 m2 n22 mncos （ m n） 22 mn（1 cos ） 4b22 mn（1 cos ） sisi taoSbb 例 5. 如图，椭圆的长短轴端点为 A， B，过中心 O 作 AB 的平行线，交椭圆上半部分于点 P，过 P 作 x 轴的垂线恰过左焦点 F1，过 F1再作 AB 的平行线交椭圆于 C， D 两点，求椭圆 的方程。 y B x O A F2 F1 D P 解：设所求的椭圆方程为（ ab0） 则 P（ c， ） ， 又 AB OP 2 22bxcyca椭 圆 方 程 可 化 为 直线 CD 的方程为 y（ x c） ，将其代入椭圆方程化简得，2 x22 cx c20 34)(3)(1121xCD 所求的椭圆方程为 【模拟试题】 （答题时间：60 分钟 满分：100 分） 一、选择题（5 分840 分） 1、已知椭圆上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3，则 P 点到另一个焦点的距离为： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（ ） A、倍 B、2 倍 C、倍 D、倍 3、椭圆的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的 纵坐标是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A、 B、 C、 D、 5、椭圆（ ab0）的半焦距为 c，若直线 y2 x 与椭圆的一个交点的横坐标恰好为 c，则 椭圆的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则此椭圆长轴的长 的最小值为（ ） A、1 B、 C、2 D、2 7、椭圆的两个焦点分别为 F1、 F2，以 F2为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，已知直线 F1M 与圆 F2相切，则离心率为 （ ） A、 B、 C、 D、 8、设椭圆（ ab0）的两个焦点分别为 F1、 F2， P 是椭圆上一点，若 PF1 PF2， 则 PF1 PF2等于（ ） A、 B、2 C、 D、2 二、填空题（5 分420 分） 9、平面上点 P 到两个定点 A、 B 的距离之和等于| AB|，则 P 点轨迹是 。 10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为 6，离心率为的椭圆方程为 。 11、椭圆的离心率为，则实数 m 的值为 。 12、若 M 为椭圆上一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，且 MF1F22 MF2F12 （ 0） ， 则椭圆的离心率是 。 三、解答题（共 40 分） 13、 （满分 8 分）已知椭圆的焦点在轴上，焦距是 4，且经过，求此椭圆的方程。 14、 （满分 10 分）若点在椭圆上，分别是椭圆的两个焦点，且，求的面积。 15、 （满分 10 分）已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A，上顶点 B，左焦点 F1到直线 AB 的距离为| OB|，求椭圆的离心率。 16、 （满分 12 分）已知 F1（3，0） ， F2（3，0）分别是椭圆的左、右焦点， P 是该椭圆 上的点，满足 PF2 F1F2， F1PF2的平分线交 F1F2于 M（1，0） ，求椭圆方程。 【试题答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D C B 二、填空题 9、线段 AB 10、 2211595xyx或 11、 m3 或 m 12、 三、解答题 13、解：因为焦距为 4，所以 即 3 设椭圆方程为 因为在椭圆上 所以 6 由得 所以椭圆方程为8 14、解：设 由椭圆得2 即 4 是直角三角形 4 6 由得8 所以10 15、解：直线 AB 的方程为 bx ay ab0，4 则左焦点 F1（ c，0）到其距离为2|78bae 16、解： PF2 F1F2， PF2，2 ，4 6 abPa223 8 又10 11 所求的椭圆方程为12