2019年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业 十六 2.11.3 导数的综合应用 文.doc

2019年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业 十六 2.11.3 导数的综合应用 文一、选择题(每小题5分,共25分)1.若不等式2xln x-x2+ax-3对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-,0)B.(-,4C.(0,+)D.4,+)【解析】选B.2xln x-x2+ax-3,则a2ln x+x+,设h(x)=2ln x+x+(x0),则h(x)=.当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以ah(x)min=4.2.(xx长沙模拟)已知函数f(x)=,若对任意的x1,2, f(x)x+f(x)0恒成立,则实数t的取值范围是()A.(-,B.C.D.,+)【解析】选B.因为f(x)=,所以对任意的x1,2, f(x)x+f(x)0恒成立对任意的x1,2,0恒成立对任意的x1,2,2x2-2tx+10恒成立t=x+恒成立,又g(x)=x+在1,2上单调递增,所以g(x)min=g(1)=,所以t.3.若0x1x2ln x2-ln x1B.-x1D.x2x1【解析】选C.设f(x)=ex-ln x(0x1),则f(x)=ex-,而x0(0,1),使f(x0)=0.故f(x)在(0,x0)上为单调减函数,在(x0,1)上为单调增函数,故选项A,B均不正确.设g(x)=,则g(x)=.当0x1时,g(x)0,所以g(x)=在(0,1)上为减函数.又0x1x2g(x2),即,所以x2x1.4.(xx襄阳模拟)若存在x(-1,1,使得不等式e2x-ax,求出f(x)=在(-1,1上的最小值即可得出a的范围.【解析】选B.因为e2x-ax在(-1,1上有解,令f(x)=,x(-1,1,则af(x)min.则f(x)=,所以当x时,f(x)0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=-时,f(x)取得最小值f=.所以a.5.(xx南昌模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为 ()A.(-2,+)B.(0,+)C.(1,+)D.(4,+)【解析】选B.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于x=0对称,所以f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0)=1.设g(x)=(xR),则g(x)=,又因为f(x)f(x),所以g(x)0(xR),所以函数g(x)在定义域上单调递减,因为f(x)exg(x)=1,而g(0)=1,所以f(x)exg(x)0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若存在正数x,使2x(x-a)1成立,则实数a的取值范围是_.【解析】由2x(x-a)1得x-ax-,即存在正数x使ax-成立即可,令h(x)=x-(x0),则h(x)为增函数,所以当x0时,h(x)h(0)=0-=-1,所以ah(x)min,即a-1,即a的取值范围是(-1,+).答案:(-1,+)7.(xx西安模拟)下列说法中,正确的有_ (把所有正确的序号都填上).x0R,使3的否定是xR,使2x3;函数y=sinsin的最小正周期是;命题“若函数f(x)在x=x0处有极值,则f(x0)=0”的否命题是真命题;函数f(x)=2x-x2的零点有2个.【解析】由特称命题的否定可知说法正确;由于函数y=sinsin=sincos=sin,其周期为,故说法错;根据导数与极值的关系可知命题“若函数f(x)在x=x0处有极值,则f(x0)=0”为真命题,故说法错;由于f(x)=2xln 2-2x,当x0,即函数f(x)在(-,0)上单调递增,又因为f(-1)f(0)=10)和g(x)=2x3+a2(x0)均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为_.【解析】因为f(x)=2x2+a2(x0),所以f(x)=4x,所以f(x1)=4x1,所以曲线f(x)=2x2+a2(x0)在点A(x1,y1)处的切线方程为y-(2+a2)=4x1(x-x1),即y=4x1x-2+a2.同理,曲线g(x)=2x3+a2(x0)在点B(x2,y2)处的切线方程为y=6x-4+a2.由题意可得,两条切线相同,故整理得结合x10,x20解得所以x1+x2=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=ln x-ex-a+a(e是自然对数的底数 ).(1)当a=0时,求证:f(x)-2.(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=-ex,令f(x)=0,得x=x0,即=,两边取对数得ln x0=-x0,且f(x)在(0,x0)上单增,在(x0,+)上单减,所以f(x)max=ln x0-=-x0-=-0.因为f(x1)=0=-ln x1=x1-a,得:a=x1+ln x1,故f(x1)=2ln x1-+x1,令h(x)=2ln x-+x,h(1)=0,因为h(x)=+10,所以h(x)0x1,则x11,又因为y=x+ln x在(0,+)上单增,由x11,得a=x1+ln x11.综上,a1.【变式备选】(xx茂名模拟)已知函数f(x)=x3-x2-ax-2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=f(x)-2m+3有3个零点,求m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=x3-x2-ax-2的图象过点A.所以-4a-4a-2=,解得a=2,即f(x)=x3-x2-2x-2,所以f(x)=x2-x-2.由f(x)=x2-x-20,解得-1x0,得x2.所以函数f(x)的递减区间是(-1,2),递增区间是(-,-1),(2,+).(2)由(1)知f(x)的极大值=f(-1)=-+2-2=-,同理,f(x)的极小值=f(2)=-2-4-2=-,由数形结合思想,要使函数g(x)=f(x)-2m+3有三个零点,则-2m-3-,解得-m0.(1)f(x)=1+ln x,令f(x)=0,解得x=,当x时,f(x)0,f(x)在上递增.所以当x=时,函数f(x)取得最小值f=-.(2)依题意得f(x)ax-1在1,+)上恒成立,即不等式aln x+对于x1,+)恒成立,即a,x1,+).设g(x)=ln x+(x1),则g(x)=-=0,所以g(x)在1,+)上是增函数,g(x)的最小值是g(1)=1.故a的取值范围是(-,1.1.(5分)已知函数f(x)=ln x+x与g(x)=ax2+ax-1(a0)的图象有且只有一个公共点,则a所在的区间为()A.B.C.D.【解析】选D.设T(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-ax2-ax+1,在x0时,有且仅有1个零点,T(x)=+1-ax-a=-a(x+1)= (x+1)=(x+1)(1-ax),因为a0,x0,所以T(x)在上单调递增,在上单调递减,如图,当x0时,T(x)-,x+时,T(x)-,所以T=0,即ln+-1+1=0,所以ln+=0,因为y=ln+在x0上单调,所以ln+=0在a0上最多有1个零点,a=1时,ln+=0,a=2时,ln+0,a=时,ln+0,所以4x1ln x1-+3+4x1+8ax1x2-16x10,化为8ax2+4x1-4ln x1+16-,令f(x)=x-4ln x+16-,x(0,2,f(x)=1-+=,当0x0,函数f(x)单调递增;当1x2时,f(x)0,函数f(x)单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(1)=14.令g(x)=8ax+4x2,x1,2,因为对x1(0,2,x21,2,使4x1ln x1-+3+4x1+8ax1x2-16x10成立,所以g(x)maxf(x)max.g(x)=8a+8x=8(x+a),当a-1时,g(x)0,函数g(x)单调递增,所以当x=2时,g(x)取得最大值,g(x)max=16a+16.由16a+1614,解得a-,满足条件.当-2a-1时,g(x)=8x-(-a),可得当x=-a时,g(x)取得最小值,g(2)=16+16a0,g(1)=4+8a1)上的最小值.(2)若关于x的不等式f2(x)+mf(x)0只有两个整数解,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=,令f(x)0得f(x)的递增区间为;令f(x)0得f(x)的递减区间为,因为x1,a,则当1时,f(x)在上为增函数,在上为减函数,又f(2)=ln 2=f(1),所以2,f(x)的最小值为f(a)=,综上,当12时,f(x)的最小值为.(2)由(1)知,f(x)的递增区间为,递减区间为,所以f(x)max=f=,又f=0,10,即f(x)(f(x)+m)0只有两个整数解,所以解得-ln 2m-ln 6.即实数m的取值范围是.5.(13分)(xx全国卷)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.【解题指南】导数的计算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力.【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2)ex,令f(x)=0得x=-1,当x(-,-1-)时,f(x)0;当x(-1+,+)时,f(x)0;所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)上单调递减;在(-1-,-1+)上单调递增.(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),令x=0,可得g(0)=0,g(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,h(x)=-(x2+4x+1)ex,当x0时,h(x)0,h(x)单调递减,故h(x)h(0)=1-a,即g(x)1-a,要使f(x)-ax-10在x0时恒成立,需要 1-a0,即a1,此时g(x)g(0)=0,故a1,综上所述,a的取值范围是1,+).