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本章回顾,知识结构 (学生用书P65),规律方法总结 (学生用书P65),1.合情推理 由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超越了前提涵盖的内容,带有猜想的成分,因此,推理所得的结论未必正确;但合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供证明思路和方向的作用,归纳和类比是合情推理常用的思维方法,归纳推理是由部分到整体,由特殊到一般的推理,是做出科学发现的重要手段.类比推理是由特殊到特殊的推理,它常以已知的知识作基础,推测出新的结果,具有发现功能.,2.演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理,其结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此,在演绎推理中,只要前提及推理正确,结论必然正确.,3.证明数学命题的常用方法 (1) 综合法:利用已知条件和某些数学定义定理公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种方法叫做综合法.综合法的定义,给出了用综合法证明数学结论的方法步骤,其基本思路是“由因导果”,即从已知推可知,再逐步推向未知(结论)的过程,它是数学中最常用的方法.,(2) 分析法:是从待证的结论出发,一步一步的去寻找结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或被证明的事实.因此,若从最后一步倒推回去,直到结论,这个过程就是综合.因此,在解答较复杂的数学命题时,常用分析法找思路,再用综合法表达,有时分析法和综合法合用称为“分析综合法”.,(3)反证法:数学中的命题,都有题设条件和结论两部分.当我们证明一个命题时,不直接从题设出发去证明结论成立,而是从否定这个命题的结论出发,通过正确严密的逻辑推理,由此引出一个新的结论,而这个新的结论与题设矛盾(或与已知定义定理等事实相矛盾,或者自相矛盾).这说明原命题结论的否定是错误的,从而肯定原结论是成立的,这就是用反证法证明数学命题的过程. 一般地,结论中出现“至多”,“至少”,“唯一”等词语,或结论以否定的语句出现,或要讨论的情况复杂等,都可以考虑用反证法.,(4)数学归纳法:它主要用于与正整数有关的数学命题,证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基),验证n=n0时,命题成立.第二步(归纳递推),假设n=k时,结论成立,推得n=k+1时命题也成立.在第二步中必须用上假设,否则不是数学归纳法.对于与正整数有关的探索性问题,一般经过归纳猜想,探索出结论,再用数学归纳法证明.,1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理,尽管结论的正确性有待证明,但在探索新结论,发现新方法,拓展新知识方面有着极其重要的作用,也是每个人应必备的基本能力.,数学思想方法 (学生用书P65),例1:观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n2)个点,第n个图案中圆点的总数是Sn. n=2,S2=4,n=3,S3=8,n=4,S4=12,按此规律,推出Sn与n的关系式为_.,答案:Sn=4n-4(n2,nN*).,解析:依图的构造规律可以看出: S2=24-4, S3=34-4, S4=44-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去). 猜想:Sn=4n-4(n2,nN*).,例2:中学数学中存在很多关系,比如“相等关系”,“平行关系”等等,如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件: (1)自反性:对于任意aA,都有aa. (2)对称性:对于a,bA,若ab,则ba. (3)传递性:对于a,b,cA,若ab,bc,则ac. 则称“”是集合A的一个等价关系,例如“数的相等”是等价关系,而直线的平行不是等价关系(自反性不成立),请你再判断两个关系_.,解析:类比“数的相等”这一等价关系知,a与a自身相等,a与b相等,则b与a也相等,a与b相等,b与c相等,则a与c也相等. 可联想到如下关系也是等价关系:图形的全等,图形的相似,命题的充要条件,非零向量共线等. 答案:图形的全等,命题的充要条件. 注:答案不唯一.,2.观察,归纳,猜想 利用归纳猜想探究数列的通项一直是高考的热点.,例3:(浙江高考)已知数列an的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的两个根且a2k-1a2k(k=1,2,3,). (1) 求a1,a3,a5,a7及a2n(n4),不必证明; (2) 求数列an的前2n项和S2n.,解:(1) 方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的两根为x1=3k,x2=2k. 当k=1时,x1=3,x2=2,a1=2; 当k=2时,x1=6,x2=4,a3=4; 当k=3时,x1=9,x2=8,a5=8; 当k=4时,x1=12,x2=16,a7=12. 当n4时,2n3n, a2n=2n(n4). (2) S2n=a1+a2+a2n=(3+6+9+3n)+(2+22+2n),例4:一个平面内有n条直线,这n条直线把平面最多分成几块?,解析:只有当这n条直线互不平行且没有两条以上的直线相交于同一点时,才能把平面分成的块数最多. 下面用f(n)表示n条直线划分平面的块数,用归纳法探求如下: n=1时,f(1)=2=1+1; n=2时,f(2)=4=2+2; n=3时,f(3)=7=4+3; n=4时,f(4)=11=7+4; ,f(n)=f(n-1)+n =f(n-2)+(n-1)+n =f(n-3)+(n-2)+(n-1)+n = =1+1+2+3+n,规律技巧:对于比较抽象的问题,可通过具体化探求其规律,如本例先用实验的方法,求出n=1,2,3,4时的f(n)的值,从中归纳出规律(递推关系)f(n)=f(n-1)+n,使问题得以解决.,3.综合法 综合法是从原因推测结果的思维方法,即从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论,这是常用的数学方法.,分析:(1) f(x)=0中二次项系数有参数a,应考虑a=0与a0,进而分类讨论,从后一小题可知应证a0.,证明:(1) 若a=0,b=-c, f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c20, 与已知矛盾,所以a0. 方程3ax2+2bx+c=0的判别式 =4(b2-3ac),由条件a+b+c=0,消去b,得,4.分析法 分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.,例6:设a,b,c为一个三角形的三边, 且S2=2ab,求证:S2a.,例7:四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,满足_时,BDA1C.(写出一个条件即可),答案:BDAC,解析:欲使BDA1C,只需BD平面AA1C1C,只需BDAC. 可填条件:BDAC或ABCD为正方形等.,5.反证法 应用反证法证明命题时要注意以下三点: (1) 必须先否定结论.当结论的反面有多种情况时,必须罗列各种情况加以论证,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2) 反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面进行推理,就不是反证法.,(3) 推导出的矛盾多种多样,有的与已知相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与已知事实相矛盾等等,推出的矛盾必须是明显的.,例8:求证:一元二次方程至多有两个不相等的实根.,分析:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”,只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立,即证明了原命题,可考虑反证法.,6.数学归纳法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型,此类问题未给出问题的结论,需要从特殊情况入手,猜想证明一般结论的问题称为探索规律性问题,其解题思路是:从已知条件出发,通过观察试验归纳猜想探索出结论,然后对归纳猜想的结论进行证明.,
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