2019-2020年高考数学压轴试卷 含解析.doc

2019-2020年高考数学压轴试卷 含解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数f（x）=sin（x+）的周期为，则=_2已知集合A=1，3，2m1，集合B=3，m2若BA，则实数m=_3已知复数z满足：z（1i）=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_4若在行列式中，元素a的代数余子式的值是_5100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在50，70）中的学生人数是_6如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于_7已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=_8的二项展开式中，常数项的值是_9已知直线Ax+By+1=0若A，B是从3，1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为_10从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则MPF的面积为_11满足线性约束条件的可行域中共有_个整数点12已知D是ABC边BC延长线上一点，记=+（1）若关于x的方程2sin2x（+1）sinx+1=0在0，2）上恰有两解，则实数的取值范围是_13对于给定的正整数n，若等差数列a1，a2，a3，满足a12+a2n+1210，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a4n+1的最大值为_14正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为_二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件16已知函数，（a0），x（0，b），则下列判断正确的是（）A当时，f（x）的最小值为B当时，f（x）的最小值为C当时，f（x）的最小值为D对任意的b0，f（x）的最小值均为17给出下列命题，其中正确的命题为（）A若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B直线a与平面不垂直，则a与平面内所有的直线都不垂直C直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行D异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直18已知函数f（x）=x33ax29a2x+a3若a，且当x1，4a时，|f（x）|12a恒成立，则a的取值范围为（）A（，B（，1C，1D0，三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1=AC=BC=2，ACB=90（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2）若P是AA1的中点，求四棱锥B1C1A1PC的体积20设函数f（x）=x2+|2xa|（xR，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a2，求函数f（x）的最小值21经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接xx“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： =1（ab0）的离心率e=，左顶点为A（4，0），过点A作斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k0）都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值23设数列an共有m（m3）项，记该数列前i项a1，a2，ai中的最大项为Ai，该数列后mi项ai+1，ai+2，am中的最小项为Bi，ri=AiBi（i=1，2，3，m1）（1）若数列an的通项公式为an=2n，求数列ri的通项公式；（2）若数列an满足a1=1，ri=2，求数列an的通项公式；（3）试构造一个数列an，满足an=bn+cn，其中bn是公差不为零的等差数列，cn是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列ri都是单调递增的，并说明理由xx上海市高考数学压轴试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数f（x）=sin（x+）的周期为，则=2【考点】正弦函数的图象【分析】利用y=Asin（x+）的周期等于 T=|，得出结论【解答】解：函数f（x）=sin（x+）的周期为|=，则=2，故答案为：22已知集合A=1，3，2m1，集合B=3，m2若BA，则实数m=1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据题意，若BA，必有m2=2m1，而m2=1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证【解答】解：由BA，m21，m2=2m1解得m=1验证可得符合集合元素的互异性，此时B=3，1，A=1，3，1，BA满足题意故答案为：13已知复数z满足：z（1i）=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案【解答】解：由z（1i）=2+4i，得，故答案为：4若在行列式中，元素a的代数余子式的值是2【考点】三阶矩阵【分析】根据余子式的定义，要求a的代数余子式的值，a这个元素在三阶行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式，解出即可【解答】解：在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：解这个余子式的值为2故元素a的代数余子式的值是25100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在50，70）中的学生人数是25【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，计算模块测试成绩落在50，70）中的频率以及频数即可【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；模块测试成绩落在50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50=，对应的学生人数是100=25故答案为：256如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据水的体积不变列出方程解出h2【解答】解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为水的体积V=Sh（hh1）=设倒置后液面面积为S，则=（）2，S=水的体积V=，解得h2=故答案为：7已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=3【考点】函数的值【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）【解答】解：f（x）=x3+lg（+x），f（x）=x3lg（+x）=f（x），f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，2f（a）+f（b）=6，f（a）+f（b）=3故答案为：38的二项展开式中，常数项的值是1080【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数等于0，求出常数项【解答】解：展开式通项Tr+1=（2）r35rC5rx105r令105r=0解得r=2故常数项为427C52=1080故答案为10809已知直线Ax+By+1=0若A，B是从3，1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，由直线的斜率k=0，得A，B同号，利用列举法求出A，B的可能取值的情况，由此能求出直线的斜率小于0的概率【解答】解：直线Ax+By+1=0，A，B是从3，1，0，2，7这5个数中选取的不同的两个数，基本事件总数n=20，直线的斜率p=0，A，B同号，A，B的可能取值为（3，1），（1，3），（2，7），（7，2），共4个，直线的斜率小于0的概率k=故答案为：10从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则MPF的面积为10【考点】抛物线的简单性质【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|=+1=5，所以y0=4，SMPF=|PM|y0|=10故答案为：1011满足线性约束条件的可行域中共有15个整数点【考点】计数原理的应用【分析】满足线性约束条件的可行域如图所示，结合图象，根据分类计数原理可得【解答】解：满足线性约束条件的可行域如图所示：当x=0时，y=0，1，2，3，4共5个，当x=1时，y=0，1，2，3，共4个，当x=2时，y=0，1，2共3个，当x=3时，y=0，1共2个，当x=4时，y=0，共1个，根据分类计数原理，共有5+4+3+2+1=15个，故答案为：1512已知D是ABC边BC延长线上一点，记=+（1）若关于x的方程2sin2x（+1）sinx+1=0在0，2）上恰有两解，则实数的取值范围是4或【考点】三点共线；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】根据题意，由D是BC延长线上一点， =（），得到0；令sinx=t，方程2t2（+1）t+1=0在（1，1）上有唯一解，（2（+1）+1）（2+（+1）+1）0，或=（+1）28=0，解出 范围【解答】解：=+（1）=+（）=+=+（）又=+，=（），由题意得0，0关于x的方程2sin2x（+1）sinx+1=0在0，2）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，方程 2t2（+1）t+1=0 在（1，1）上有唯一解，2（+1）+12+（+1）+10 ，或=（+1）28=0 ，由得 4 或2（舍去） 由得 =12，或 =1+2（舍去）故答案为 4或=1213对于给定的正整数n，若等差数列a1，a2，a3，满足a12+a2n+1210，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a4n+1的最大值为10n+5【考点】数列的求和【分析】根据等差数列的关系整理得S=（2n+1）a3n+1，由a12+a2n+1210得到关于d的二次方程，10n2d28da3n+1+2a3n+12100有解，根据判别式即可求出【解答】解：因为数列a2n+1+a4n+1=a2n+2+a4n=2a3n+1是等差数列，所以a12+a2n+12=（a3n+13nd）2+（a3n+1nd）210，化简得：2a3n+128da3n+1+10n2d2100，关于d的二次方程，10n2d28da3n+1+2a3n+12100，有解，所以=64a3n+12410n2（2a3n+1210）0，所以（6480n2）a3n+12400n2，所以a3n+12=10（+）25，所以5a3n+15，即Sn5（2n+1）=10n+5，故答案为：10n+514正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简可得40332x=|x1|+|xa|+|xb|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得【解答】解：由方程组消y可得，40332x=|x1|+|xa|+|xb|，当x1时，40332x=1xx+ax+b，故x=b+a4032，故当b+a4033时，有一个解；即a4031时，有一个解；否则无解；当1xa时，40332x=x1x+ax+b，故x=4034ab，故当a4032ab1，即b4032且a+b4301时，有一个解；即xxa4030，有一个解，否则无解；当1xb时，40332x=x+a+b1，故3x=4034ab，故当34034ab3b，即a+b4031且a+4b4304时，有一个解；即axx，方程有一个解，否则无解；当xb时，40332x=3x+ab1，故5x=4034a+b，故当4034a+b5b，即a+4b4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）（xR）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”“函数f（x）（xR）存在反函数”；反之取f（x）=x（xR），则函数f（x）（xR）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数故选B16已知函数，（a0），x（0，b），则下列判断正确的是（）A当时，f（x）的最小值为B当时，f（x）的最小值为C当时，f（x）的最小值为D对任意的b0，f（x）的最小值均为【考点】基本不等式【分析】通过观察可知，已知解析式可整理成基本不等式的形式，然后根据等号能否取到分情况讨论求解【解答】解：=x+，当时，f（x），当且仅当x=，即x=时取等号；当时，y=f（x）在（0，b）上单调递减，f（x），故f（x）不存在最小值；故选A17给出下列命题，其中正确的命题为（）A若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B直线a与平面不垂直，则a与平面内所有的直线都不垂直C直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行D异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c异面，故A错误；对于B，若直线a，则内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；对于C，若直线a，则内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；对于D，假设存在平面，使得a，b，则ba，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确故选：D18已知函数f（x）=x33ax29a2x+a3若a，且当x1，4a时，|f（x）|12a恒成立，则a的取值范围为（）A（，B（，1C，1D0，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题转化为求导函数的绝对值在x1，4a上的最大值即可【解答】解：f（x）=3x26ax9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称若a1，则f（x）在1，4a上是增函数，从而（x）在1，4a上的最小值是f（1）=36a9a2，最大值是f（4a）=15a2由|f（x）|12a，得12a3x26ax9a212a，于是有36a9a212a，且f（4a）=15a212a由f（1）12a得a1，由f（4a）12a得0a所以a（，1，10，即a（，若a1，则|f（a）|=15a212a故当x1，4a时|f（x）|12a不恒成立所以使|f（x）|12a（x1，4a）恒成立的a的取值范围是（，故选：A三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1=AC=BC=2，ACB=90（1）如图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2）若P是AA1的中点，求四棱锥B1C1A1PC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图【分析】（1）由已知中直三棱柱ABCA1B1C1的直观图，及CC1=AC=BC=2，ACB=90，我们易得该几何体的主视图和左视图是以2为边长的正方形，俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形；（2）由已知中直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1=AC=BC=2，ACB=90，P是AA1的中点，我们计算出四棱锥B1C1A1PC的底面面积及高，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解：（1）如图，该直三棱柱的左视图和俯视图，如下所示：（2）P是AA1的中点，CC1=AC=2故四边形C1A1PC的面积S=（A1P+C1C）A1C1=3而四棱锥B1C1A1PC的高h=B1C1=2故四棱锥B1C1A1PC的V=Sh=220设函数f（x）=x2+|2xa|（xR，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a2，求函数f（x）的最小值【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】（1）根据偶函数的定义可得f（x）=f（x）然后代入即可求出a（2）可根据绝对值的定义可将函数f（x）=x2+|2xa|（xR，a为实数）转化为）然后根据a2再结合一元二次函数的单调性可求出f（x）在各段的最小值然后比较两个最小值的大小则较小的最小值即为所求【解答】解：（1）由已知f（x）=f（x），即|2xa|=|2x+a|，解得a=0（2）当时，f（x）=x2+2xa=（x+1）2（a+1）由，得x1，从而x1故f（x）在时单调递增，f（x）的最小值为当时，f（x）=x22x+a=（x1）2+（a1）故当时，f（x）单调递增，当x1时，f（x）单调递减则f（x）的最小值为f（1）=a1由，知f（x）的最小值为a121经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接xx“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3（其中0xa，a为正常数）已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】（）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，将代入化简得：（0xa）（）当a1时，x（0，1）时y0，所以函数在（0，1）上单调递增x（1，a）时y0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a1时，因为函数在（0，1）上单调递增在0，a上单调递增，所以x=a时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大综上，当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大（注：当a1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）22如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： =1（ab0）的离心率e=，左顶点为A（4，0），过点A作斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k0）都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）（4k2+3）x+16k212）=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OMl，能求出结果【解答】解：（1）椭圆C： =1（ab0）的离心率e=，左顶点为A（4，0），a=4，又，c=2又b2=a2c2=12，椭圆C的标准方程为（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，化简得，（x+4）（4k2+3）x+16k212）=0，x1=4，当时，点P为AD的中点，P的坐标为，则直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m0），使得OPEQ，则kOPkEQ=1，即恒成立，（4m+12）k3n=0恒成立，即，定点Q的坐标为（3，0）（3）OMl，OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，由OMl，得=，当且仅当即时取等号，当时，的最小值为 23设数列an共有m（m3）项，记该数列前i项a1，a2，ai中的最大项为Ai，该数列后mi项ai+1，ai+2，am中的最小项为Bi，ri=AiBi（i=1，2，3，m1）（1）若数列an的通项公式为an=2n，求数列ri的通项公式；（2）若数列an满足a1=1，ri=2，求数列an的通项公式；（3）试构造一个数列an，满足an=bn+cn，其中bn是公差不为零的等差数列，cn是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列ri都是单调递增的，并说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由an=2n单调递增，可得Ai=2i，Bi=2i+1，即可得到ri=AiBi；（2）由题意可得AiBi，即aiai+1，又因为i=1，2，3，m1，所以an单调递增，可得an是公差为2的等差数列，进而得到所求通项公式；（3）构造an=n（）n，其中bn=n，cn=（）n，运用新定义即可得证【解答】解：（1）因为an=2n单调递增，所以Ai=2i，Bi=2i+1，所以ri=AiBi=2i，1im1；（2）根据题意可知，aiAi，Biai+1，因为ri=AiBi=20，所以AiBi，可得aiAiBiai+1，即aiai+1，又因为i=1，2，3，m1，所以an单调递增，则Ai=ai，Bi=ai+1，所以ri=aiai+1=2，即ai+1ai=2，1im1，所以an是公差为2的等差数列，an=1+2（n1）=2n1，1im1；（3）构造an=n（）n，其中bn=n，cn=（）n，下证数列an满足题意证明：因为an=n（）n，所以数列an单调递增，所以Ai=ai=i（）i，Bi=ai+1=i+1（）i+1，所以ri=aiai+1=1（）i+1，1im1，因为ri+1ri=1（）i+21（）i+1=（）i+20，所以数列ri单调递增，满足题意（说明：等差数列bn的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列cn的首项c1为负，公比q（0，1），这样构造的数列an都满足题意）xx9月8日