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第4讲,万有引力定律及其应用,T3,一、开普勒运动定律 1开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的,_上,一个焦点,2开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它和太阳的连线在相等的时间内扫,过相等的_,面积,3开普勒第三定律,公转周期,所有行星的轨道的_的三次方跟它的_的,二次方的比值都相等，表达式：_.,a3,k,半长轴,【基础检测】 1设有两颗人造地球卫星的质量之比为 m1m212， 其运行轨道半径之比为 R1R231，则两颗卫星运行的周期,之比为(,),A41,B91,答案：D,二、万有引力定律,二次方,1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向 在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量 m1 和 m2 的_ 成正比，与它们之间距离 r 的_成反比,3特殊情况,两球心间的距离,质点到球心间的距离,(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律 来计算，其中 r 为_ (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引 力也适用，其中 r 为_,乘积,2公式：F_，其中G6.671011 Nm2/kg2，,叫引力常量,【基础检测】 2(2015 年河北保定模拟)我国实施“嫦娥三号”的发射和 落月任务，进一步获取月球的相关数据如果该卫星在月球上 空绕月做匀速圆周运动，经过时间 t，卫星行程为 s，卫星与月 球中心连线扫过的角度是 1 弧度，万有引力常量为 G，根据以,上数据估算月球的质量是(,),答案：B,1第一宇宙速度(环绕速度)：v1_km/s，v1 是人 造地球卫星的最小_速度，也是人造地球卫星绕地球做,圆周运动的_速度,发射,最大,2第二宇宙速度(脱离速度)：v2_km/s，是使,物体挣脱_引力束缚的最小发射速度,地球,3第三宇宙速度(逃逸速度)：v3_km/s，是使,物体挣脱_引力束缚的最小发射速度,太阳,三、三种宇宙速度,7.9,11.2,16.7,【基础检测】 3(2015 年广东惠州二调)某同学这样来计算第一宇宙速,与正确的值相差很大，这是由于他在近似处理中错误地假设了,(,) A卫星的周期等于地球自转的周期 B卫星的轨道是圆 C卫星的轨道半径等于地球的半径 D卫星的向心力等于它在地面上时所受的地球引力 答案：A,考点1 万有引力定律及其应用 重点归纳 1解决天体圆周运动问题的两条思路,mg，有 GMgR2(黄金代换) (2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由 万有引力提供，即 F 引F 向一般有以下几种表达形式：,2中心天体质量和密度的计算,.,GT2,典例剖析 例 1：天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星 的体积是地球的 4.7 倍，质量是地球的 25 倍已知某一近地卫 星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量 G6.671011,Nm2/kg2，由此估算该行星的平均密度为(,),思维点拨：由题可知行星密度与地球密度的关系，求出地 球的平均密度，就可得到该行星的平均密度根据近地卫星绕 地球运动的向心力由万有引力提供，可求出地球的密度为地球,3,A1.8103 kg/m3 B5.6103 kg/m3 C1.1104 kg/m3 D2.9104 kg/m3,答案：D,【考点练透】 1(2015 年滨海五校联考)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L. 已知月球半径为 R，万有引力常量为 G.则下列说法正确的是,(,),答案：D,2(2015 年浙江台州模拟)如图 4-4-1 所示是美国的“卡西 尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行 的轨道若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星 表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已 知万有引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度的,表达式正确的是(,),图 4-4-1,答案：D,考点2 人造卫星,1人造卫星的动力学特征,重点归纳,2人造卫星的运动学特征,3卫星的环绕速度和发射速度,发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速 度，环绕速度是指卫星进入运行轨道绕地球做圆周运动时的线 速度发射速度一定大于环绕速度近地卫星的环绕速度是等 于第一宇宙速度，即最大环绕速度，也是最小的发射速度,4同步卫星的四个“一定” (1)轨道平面一定，与赤道共面,(2)周期(角速度)一定，与地球自转的周期(角速度)相同 (3)到地面的高度一定 (4)线速度的大小一定,【考点练透】 3(多选，2015 年广东广州海珠区检测)如图 4-4-2 所示， A、B、C 是在地球大气层外圆形轨道上运动的 3 颗卫星，已知,mAmBmC，下列说法正确的是(,),图 4-4-2,答案：AB,A角速度大小的关系是ABC B周期关系是TAFC D向心加速度大小的关系是aAaBaC,考点3 卫星的在轨运行和变轨问题,1卫星的轨道,(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内同步卫星就是其,中的一种,(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的,平面内如卫星定位系统中的卫星轨道,(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道,重点归纳,2卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)圆轨道上的稳定运行 (2)变轨运行分析：,当卫星的速度 v 增大时，所需向心力 m,v2 r,增大，万有引,力不足以提供向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做离心运动，,轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 v,知,其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加而动能减小,当卫星的速度 v 减小时，向心力 m,v2 r,减小，即万有引力,大于卫星所需的向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做向心运动，,轨道半径变小，进入新轨道运行时由 v,知运行速度将增,大，但重力势能、机械能均减少而动能增加,典例剖析 例 2：(多选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路 线示意图如图 4-4-3 所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进 入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道， 经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测已 知地球与月球的质量之比为 a，卫星的停泊轨道与工作轨道的 半径之比为 b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速,圆周运动，则卫星(,),图 4-4-3,A在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为 B在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为,C在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速,思维点拨：由万有引力提供向心力可以判断不同轨道的速 度、周期之间的关系卫星轨道变大时，周期变大，速度(动能) 减小，但机械能增大，即需要加速,C 错误；要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星 做离心运动，即应增加卫星的速度，选项 D 正确 答案：D,备考策略：卫星的速度增大，应做离心运动，要克服万有 引力做负功，其动能要减小，速度也减小，所以稳定后速度减 小与卫星原来速度增大并不矛盾，这正是能量守恒定律的具体 体现,【考点练透】 4(2015 年贵州一模)2013 年 12 月 15 日 4 时 35 分，嫦娥 三号着陆器与巡视器分离，“玉兔号”巡视器顺利驶抵月球表 面如图 4-4-4 所示是嫦娥三号探测器携“玉兔号”奔月过程 中某阶段运动示意图，关闭动力的嫦娥三号探测器在月球引力 作用下向月球靠近，并沿椭圆轨道在 P 处变轨进入圆轨道，已 知探测器绕月做圆周运动轨道半径为 r，周期为 T，引力常量为,G，下列说法中正确的是(,),图 4-4-4,A图中嫦娥三号探测器在 P 处由椭圆轨道进入圆轨道前,后机械能守恒,B嫦娥三号携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中，,“玉兔号”所受重力为零,C嫦娥三号经椭圆轨道到 P 点时和经圆形轨道到 P 点时,的加速度不等,D由题中所给条件，不可以求出月球的平均密度,解析：在 P 点变轨前后嫦娥三号都只有引力做功，机械能 均守恒，但在变轨时速度减小，机械能减小，故 A 错误；嫦娥 三号携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中，“玉兔号”所,度，故 D 正确故选 D. 答案：D,5(多选，2015 年河北唐山模拟)如图 4-4-5 所示，地球卫 星 a、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点,A 处与圆形轨道相切，则(,),图 4-4-5 A卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运行周期短 B两颗卫星分别经过 A 点处时，a 的速度大于 b 的速度 C两颗卫星分别经过 A 点处时，a 的加速度小于 b 的加速度 D卫星 a 在 A 点处通过加速可以到圆形轨道上运行,解析：由于卫星 a 的运行轨道的半长轴比卫星 b 的运行轨 道半径短，根据开普勒定律，卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运 行周期短，选项 A 正确两颗卫星分别经过 A 点处时，a 的速 度小于 b 的速度，选项 B 错误两颗卫星分别经过 A 点处时， a 的加速度等于 b 的加速度，选项 C 错误卫星 a 在 A 点处通 过加速可以到圆形轨道上运行，选项 D 正确,答案：AD,模型,双星、三星模型,1双星模型 图 4-4-6 在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，如 图 4-4-6 所示,(1)两星做匀速圆周运动的向心力大小相等，都等于两者之,间的万有引力,(2)双星具有相同的角速度和周期,(3)双星圆周运动的半径之和等于双星间距 2三星模型,(1)三星在万有引力作用下绕某中心做匀速圆周运动 (2)每颗星的向心力均由另两颗星对它的万有引力的合力,提供,(3)三星具有相同的周期和角速度,例 3：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们做 匀速圆周运动而不会因万有引力的作用吸引到一起 (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的,反比,(2)设两者的质量分别为 m1 和 m2，两者相距 L，试写出它,们角速度的表达式,审题突破：两颗天体绕球心连线上同一点做匀速圆周运动 的角速度一定相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之 间的万有引力提供,解：(1)证明：设两者的圆心为 O 点，轨道半径分别为 R1,m12R1 ,图4-4-7,题外拓展：分析多星问题时，除满足各星的角速度相等以 外，还要注意分析各星做匀速圆周运动的向心力大小和轨道 半径,【触类旁通】 1美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星 系统，命名为“开普勒-47”，该系统位于天鹅座内，距离地球 大约 5000 光年这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运 行周期为 T，其中一颗大恒星的质量为 M，另一颗小恒星质量 只有大恒星质量的三分之一已知引力常量为 G，则下列判断,正确的是(,),A两颗恒星的转动半径之比为 11 B两颗恒星的转动半径之比为 12,C两颗恒星相距,D两颗恒星相距,答案：C,2宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组 成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用设四 星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分 布在边长为 a 的正方形的四个顶点上已知引力常量为 G.关于,A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,B四颗星的轨道半径均为,a 2,答案：B,例 4：已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为 v1、向心加速度大小为 a1，近地卫星线速度大小为 v2、向心加 速度大小为 a2，地球同步卫星线速度大小为 v3、向心加速度大 小为 a3.设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为,地球半径的 6 倍则以下结论正确的是(,),易错点 自转和公转区别不清,解析：地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的， 有相同的角速度和周期，比较速度用vr，比较加速度用a 2r，同步卫星距地心距离约为地球半径的7 倍，则 C 正确； 近地卫星与地球同步卫星都是卫星，都绕地球做圆周运动，向,答案：C,指点迷津：赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动， 由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引 力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、 角速度与地球同步卫星相等,【触类旁通】 3一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上 已知万有引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压,力恰好为零，则天体自转周期为(,),解析：赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体 对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，,答案：D,
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