化工设备机械基础-平面弯曲

平面弯曲,化工设备机械基础,主要内容,3.1 弯曲变形的实例和概念3.2 直梁弯曲的内力分析3.3 平面弯曲的应力计算,熟悉直梁弯曲的内力分析方法 熟练掌握剪力图和弯矩图的绘制,剪力图和弯矩图,【本节内容】,1、弯曲和平面弯曲的概念；2、梁的概念及其种类；3、梁的内力Q、M的分析；4、Q（x）、M（x）及Q、M图。,【目的、要求】,1、了解梁上载荷及支座简化的方法；2、能熟练准确地计算梁支座反力；3、熟练掌握简捷法求梁指定截面上的内力Q、M，以及建立Q（x）、M（x）方程和绘制Q、M图的方法。,【重点、难点】,【重点】：用简捷法求梁指定截面上的内力Q、M，以及建立Q（x）、M（x）方程和绘制Q、M图；【难点】：用简捷法求梁指定截面上的内力Q、M 时外力正负号的判断。,3.1 弯曲变形的实例和概念,杆件的弯曲变形也是工程中最常见的一种基本变形形式。如：,房屋建筑中的楼面梁(图5-1a)。,火车轮轴(图5-1b)。,一、弯曲变形,(请看动画),扁担抬水(图5-1c),跳水板(图5-1d),桥式吊车的大梁(图5-1e)。,外力特点：,构件都可以简化为一根直杆；外力都垂直于杆的轴线。,变形特点：,在外力作用下杆的轴线由直线变为曲线弯曲。 通常把仅受弯曲变形的杆件称为梁(girder)。,二、平面弯曲,若作用在梁上的外力(包括力偶)都位于纵向对称面内，且力的作用线垂直于梁的轴线，梁的轴线将弯曲成一条仍位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲（plane bending)。,纵向对称面：梁横截面对称轴与轴线构成 的平面，如图示。,三、静定梁的基本形式,1、悬臂梁(cantilever girder)：一端为固定端，另一端为自由端的梁(右图所示)。,2、简支梁：一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁(右图所示) 。,3、外伸梁：从简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁(右图所示) 。,3.2、直梁弯曲的内力分析,右图所示，承受集中力P1、P2作用的简支梁AB保持平衡，求任意截面11的内力。,根据整个梁的平衡条件，先求出梁在载荷作用下的支反力RA和RB。,假想沿横截面1-1将梁截开分成左、右两段，取左段梁为研究对象。,一、梁弯曲时横截面上的内力,弯矩M，其力偶面垂直于横截面，称为弯矩(bending moment) 。,取截面中心C1为力矩点，由平衡方程,剪力Q，其作用线平行于外力并通过截面形心(沿截面作用)，故称为剪力(shearing force) 。,内力分析,Q、M正负号的规定,1、对于剪力Q以该截面（如n-n）为界，如左段相对右段向上滑移（简称左上右下），则剪力为正；反之为负。,2、对于弯矩M若梁在该截面附近弯成上凹下凸，则弯矩为正；反之为负。,简捷法求Q、M,如何根据外力的方向确定Q、M的正负号(即P外的正负号)?,1、对于剪力Q P外左上、右下为正；反之左下、右上为负。,2、对于弯矩M外力（包括力偶）对截面形心的力矩为左顺、右逆，为正；反之左逆、右顺为负。,例3-1 吊车大梁的计算简图如图示。梁的自重q668N/m，吊车的自重和吊重共为P10KN，梁长l=10m。试求当吊车行至B端为l/4时，梁跨中央C截面上的剪力和弯矩。,解：求支反力,解得：,计算C截面的内力(取C截面左侧是为研究对象)：,二、剪力方程和弯矩方程,取梁的轴线为x轴（一般是以梁的左端作为坐标原点），坐标x表示截面的位置，则Q和M可表示为x的函数：,表示了Q和M随截面位置变化而变化的规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。,三、剪力图和弯矩图,把剪力和弯矩方程用其函数图象表示，分别称为剪力图和弯矩图。作用：找到梁上最大剪力和最大弯矩处，以确定危险截面位置。,四、剪力图和弯矩图的绘制,对于一般的情况，绘制剪力图或弯矩图的具体步骤可以概括如下：,根据梁上的荷载和支座情况，求出支座反力。,根据荷载和支座反力的情况，列出剪力方程和弯矩方程。当梁上受有几个外力(包括集中力、集中力偶、分布力等)作用时，在各个外力之间的每一段梁的剪力方程和弯矩方程都互不相同，这时需要对每一段分别列出其剪力方程和弯矩方程。（即分段列Q（x）和M（x）,根据剪力方程(或弯矩方程)作出剪力图(或弯矩图)。,下面分析几个实例,例3-2 悬臂梁AB，长l，受力P作用，试绘制其剪力、弯矩图。,解：求支反力（略）。,建立剪力方程和弯矩方程,以梁的左端为原点，沿梁轴线作x轴，得,绘制Q、M图,Q（x）是一常数，故为一水平线，纵坐标为P。,M（x）为x的一次式，表示弯矩M沿轴向呈线性变化，故M图为一斜直线，由方程式确定两点坐标：x0，M0；x=l，MPl,例3-3 图示简支梁AB，长l，在C点受集中力P作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。,x1,x2,l,RA,RB,解：以整体为研究对象求支反力。,解得：,分段建立剪力方程和弯矩方程：,由于C点有集中力P作用，AC、CB段剪力和弯矩各不相同，故取C点为分段点，分段列方程如下(以截面左侧的外力计算Q、M）：,AC段：,BC段：,绘Q、M图如图示。,例3-4 图示简支梁AB，长l，在C点受集中力偶 m 作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。,解：以整体为研究对象求支反力。,建立剪力方程和弯矩方程：,AC段：,CB段：,绘Q、M图如图示。,例3-5图示简支梁AB，长l，受向下的均布载荷q 作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。,解：以整体为研究对象求支反力。,建立剪力方程和弯矩方程：,绘Q、M图如图示。,Q图是斜直线，M图是二次抛物线（只要确定三点即可绘制）。,绘制剪力图和弯矩图的几点规律,1.若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜 直线。,2.若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。,3.梁上集中力作用处，剪力图有突变，突变值为该集中力大小，弯矩图在此处有转折。,4.梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为该集中力偶的力偶矩。,5.剪力Q=0处，弯矩有极值。,例3-6 图示悬臂梁AB，受向下的均布载荷q 与集中力Pqa的作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。,解：以整体为研究对象求支反力。,解得：,分段建立剪力方程和弯矩方程：,AB段：,BC段：,绘Q、M图如图示。,1.5.3 梁横截面上的正应力,梁在弯曲时横截面上有剪力和弯矩。因此，横截面上有与这些内力相对应的应力。一般情况下，弯矩往往是引起梁破坏的主要原因，为了简化计算，通常取纯弯矩梁来研究。所谓纯弯矩，是指梁横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲。 对于受剪力或不受剪力作用的弯曲梁，其截面因弯曲而产生的正应力的计算公式为：,其中：Mz横截面上收到的弯矩，Nm Iz横截面的轴惯性矩，m4 y所求点至该截面中性轴Z的距离，m Z轴梁弯曲时，即不伸长，也不缩短纵向层（中性层）与横截面相交的轴线。称为中性轴（见图）,由公式可知，最大应力发生在距中性轴最远的点上，用ymax表示距中性轴最远点的距离，截面上最大弯曲正应力的绝对值为,Pa （1-25）,(请看动画),常见截面的轴惯性矩和抗弯截面模量,（1-26）,或写为：,（1-27）,其中： Wz梁上抗弯截面模量，m3.,矩形截面：,h 矩形截面的高b 矩形截面的宽,圆形截面：,其中：D 圆环外径 d 圆环内径,圆环截面：,D 圆形截面的直径,在实际计算中应用公式，可以不考虑M和y的正负号，都以其绝对值代入该式计算的数值，然后根据M图的正负直接判断是拉应力还是压应力。即以横截面的中性轴为界，M为正时，中性轴以下部分为拉应力，以上部分为压应力；M为负时，则与其相反。也可根据梁的变形情况直接判断（如下图3-7示）。,梁的抗弯截面模量Wz的大小不仅与截面面积有关，而且与截面形状有关，合理选择梁的截面形状，可以大大提高梁的抗弯强度，工程上常用的各种型钢，其Wz可从型钢表中查取。,1.5.4 梁的弹性弯曲变形挠度和转角,对于梁在弯曲变形后,衡量其强度的条件是看其应力值是否满足要求,衡量其刚度的条件是看其变形程度是否满足允许变形值以内.主要采用两个值来衡量,即挠度和转角.,挠度：梁受力发生弯曲变形后，轴线上的点在垂直于x轴方向的位移，称为该点的挠度，用v表示。,挠度的正负号规定： 根据所选坐标y轴的方向而定，与坐标轴y正方向一致时为正，反之为负。图1-43所示挠度为负。一般情况下挠度y都是截面位置x的函数：,（1-31）,转角:梁变形后,轴线上任意点的截面相对变形前的位置,绕中性轴偏转的角度称为该截面的转角用表示. 转角符号规定:逆时针转为正,顺时针转为负.,例如:图示悬臂梁在自由端B处,作用一集中力P.变形前梁的轴线AB为一直线,变形后,弯曲成虚线AB1的挠曲线.,图中:变形后,挠度y向下位移,为负值,转角顺时针转动也为负值.查表可得:梁的挠曲线方程:,转角:,挠度:,其中:P作用在梁上的集中 力 N L梁的外伸长度 E材料的弹性模量 Iz梁的抗弯轴惯性 距,二、梁的变形挠度和转角：,(请看动画),